Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte höchstens im Quadrat vorkommt. Sie lässt sich immer in die allgemeine Form bringen:

\[ax^2 + bx + c = 0 \qquad \text{mit } a \neq 0\]

Dabei sind $a$, $b$ und $c$ die Koeffizienten, $x$ ist die Unbekannte. Kommen in einer Gleichung höhere Potenzen wie $x^3$ vor, müssen diese beim Umformen wegfallen – sonst handelt es sich nicht mehr um eine quadratische Gleichung.

Beispiele für quadratische Gleichungen

$7x^2 + 3x - 4 = 0$
$3x^2 - 12x + 13 = 0$
$12x^2 - 9 = 0$
$19x^2 - 4x = 0$
$(x - 3)^2 = 4$ (wird erst durch Ausmultiplizieren zur allgemeinen Form)

Nullform und Normalform

Nullform: Auf einer Seite der Gleichung steht nur $0$. Das ist die Voraussetzung, um die abc-Formel oder die pq-Formel anzuwenden.

Normalform: Zusätzlich steht vor $x^2$ eine $1$. Aus der allgemeinen Form entsteht sie durch Teilen durch $a$:

\[x^2 + px + q = 0 \qquad \text{mit } p = \frac{b}{a} \text{ und } q = \frac{c}{a}\]

Sonderfälle – ganz ohne Formel

Kein $x$-Glied ($b = 0$)

Die Gleichung hat die Form $ax^2 + c = 0$ (reinquadratische Gleichung). Man löst nach $x^2$ auf und zieht die Wurzel:

\[x^2 = -\frac{c}{a} \quad\Rightarrow\quad x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}\]

Ist $-\frac{c}{a}$ negativ, gibt es keine Lösung – ein Quadrat ist nie negativ.

Keine Zahl ($c = 0$)

Die Gleichung hat die Form $ax^2 + bx = 0$. Man klammert $x$ aus und erhält $x(ax + b) = 0$. Ein Produkt ist $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist:

\[x_1 = 0 \qquad x_2 = -\frac{b}{a}\]

Lösungsformeln

abc-Formel (Mitternachtsformel)

Funktioniert für jede quadratische Gleichung in der Nullform $ax^2 + bx + c = 0$:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Mehr dazu: abc-Formel erklärt

pq-Formel

Funktioniert für Gleichungen in der Normalform $x^2 + px + q = 0$:

\[x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\]

Mehr dazu: pq-Formel erklärt

Anzahl der Lösungen – die Diskriminante

Wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat, entscheidet der Wert unter der Wurzel. Er heißt Diskriminante $D$:

abc-Formel	pq-Formel
$D = b^2 - 4ac$	$D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$

Diskriminante	Anzahl der Lösungen
$D > 0$	zwei Lösungen
$D = 0$	genau eine Lösung
$D < 0$	keine (reelle) Lösung

Beispiel mit der abc-Formel

Gelöst werden soll $3x^2 + 9x + 6 = 0$. Die Gleichung liegt bereits in der Nullform vor, also können wir $a = 3$, $b = 9$ und $c = 6$ direkt ablesen:

\[\begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 72}}{6} = \frac{-9 \pm \sqrt{9}}{6} = \frac{-9 \pm 3}{6}\\[4pt] x_1 &= \frac{-9 + 3}{6} = -1 \qquad x_2 = \frac{-9 - 3}{6} = -2 \end{aligned}\]

Online-Rechner für quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen Rechner Wählt automatisch den einfachsten Weg: Sonderfall, pq-Formel oder abc-Formel. pq-Formel Rechner Rechnet immer mit der pq-Formel – bei Bedarf wird vorher die Normalform hergestellt. abc-Formel Rechner Rechnet immer mit der abc-Formel (Mitternachtsformel). Übungsaufgaben Aufgaben in drei Schwierigkeitsstufen – mit Lösung und Rechenweg.