abc-Formel (Mitternachtsformel)

Mit der abc-Formel löst Du jede quadratische Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$ – ohne vorher durch $a$ teilen zu müssen.

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Der Name Mitternachtsformel soll ausdrücken, dass man diese Formel immer parat haben sollte – selbst wenn man um Mitternacht geweckt und danach gefragt wird. Durch das $\pm$ erhältst Du (bis zu) zwei Lösungen:

\[x_1 = \frac{-b {\color{red}{+}} \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \qquad x_2 = \frac{-b {\color{red}{-}} \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Anwendung der abc-Formel

Nullform herstellen: Alle Terme auf eine Seite bringen, sodass auf der anderen Seite $0$ steht.
$a$, $b$ und $c$ ablesen: $a$ steht vor $x^2$, $b$ vor $x$, $c$ ist die Zahl ohne $x$ – jeweils mit Vorzeichen.
Einsetzen: Negative Zahlen beim Einsetzen in Klammern setzen, z. B. $(-8)^2$.
Ausrechnen: einmal mit $+$ und einmal mit $-$ vor der Wurzel.

Anzahl der Lösungen – die Diskriminante

Der Wert unter der Wurzel heißt Diskriminante: $D = b^2 - 4ac$. Er entscheidet, wie viele Lösungen es gibt:

$b^2 - 4ac > 0$: zwei Lösungen
$b^2 - 4ac = 0$: genau eine Lösung ($x = -\frac{b}{2a}$)
$b^2 - 4ac < 0$: keine (reelle) Lösung

Beispiel

Gelöst werden soll $4x^2 - 8x + 3 = 0$. Die Gleichung liegt bereits in der Nullform vor: $a = 4$, $b = -8$, $c = 3$.

\[\begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{8 \pm 4}{8}\\[4pt] x_1 &= \frac{8 + 4}{8} = \frac{3}{2} \qquad x_2 = \frac{8 - 4}{8} = \frac{1}{2} \end{aligned}\]

Typischer Fehler: $-8^2$ ist $-64$, aber $(-8)^2$ ist $64$. Setze negative Zahlen deshalb immer in Klammern ein.

abc-Formel Rechner Eigene Gleichung eingeben und den kompletten Rechenweg sehen. abc-Formel Aufgaben Üben in drei Schwierigkeitsstufen – mit Lösungen. pq-Formel Die kleine Formel für Gleichungen in Normalform.