PQ Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen

Die PQ Formel dient zum einfachen Lösen von quadratischen Gleichungen. Doch was ist eigentlich eine quadratische Gleichung? Als quadratische Gleichung wird eine Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \neq 0$ oder eine Gleichung, welche sich auf diese Form bringen lässt, bezeichnet. $a, b, c$ sind hierbei bekannte Koeffizienten, $x$ ist die gesuchte Unbekannte. Damit es sich um eine Quadratische Gleichung handelt muss $a \neq 0$ sein, andernfalls würde der quadratische Term $x^2$ entfallen und es wäre kein quadratisches Glied mehr vorhanden.

Beispiele für Quadratische Gleichungen die mit der PQ Formel gelöst werden können

• $x^2 + 2x + 1 = 0$
• $x^2 + 6x + 8 = 0$
• $3x^2 + 6x + 2 = 0$

PQ Formel (kleine Formel)

$\large{x_{1,2}=-{\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}}}$

Durch Einsetzen von $p$ und $q$ erhält man die beiden Lösungen
$\large{x_{1} = -{\frac{p}{2} {\color{red}{+}} \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}}}$
$\large{x_{2} = -{\frac{p}{2} {\color{red}{-}} \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}}}$

Anwendung der PQ Formel

• Die quadratische Gleichung muss zur Anwendung der PQ Formel in Normalform und Nullform vorliegen. Normalform bedeutet hier dass der Quadratische Term $x^2$ in der Vielfachheit 1 vorliegen muss. Um die Normalform handelt es sich wenn auf einer der beiden Seiten nur eine Null ($0$). Sollte die quadratische Gleichung nicht bereits passend vorliegen muss diese vor Anwendung der PQ Formel passend umgeformt werden.
• $p, q$ aus der Gleichung ablesen
• $p, q$ in die PQ Formel einsetzen
• Nun lassen sich die Lösungen berechnen:
  • Lösung für $+\sqrt{...}$
  • Lösung für $-\sqrt{...}$

Anzahl der Lösungen / Diskriminante der PQ Formel

Die Diskriminante bei der PQ Formel lautet $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2-q$

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\colorbox{yellow}{\(\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\)}}}$
Der Term $(\frac{p}{2})^2-q$ unter der Wurzel der PQ Formel wird Diskriminante genannt. Die Diskriminante einer quadratischen Funktion ermöglicht eine Aussage zu treffen wieviele Lösungen es gibt.
Die Diskriminante bei der PQ Formel lautet $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$

Abhängig von der Diskriminante besitzt die PQ Formel eine, zwei oder keine Lösung (im reellen Zahlenraum).

• $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q > 0$: Die PQ Formel hat zwei Lösungen
• $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q = 0$: Die PQ Formel hat eine Lösung
• $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q < 0$: Die PQ Formel hat keine Lösung

Beispiel zur Rechnung mit der PQ Formel

Gelöst werden soll die quadratische Gleichung $x^2 + 6x + 8$ mit Hilfe der PQ Formel. Die Gleichung liegt bereits in Normalform und Nullform vor. $p, q$ können damit direkt abgelesen werden.

$x^2 + 6x + 8$

$\begin{align*} p &= 6 \\ q &= 8 \end{align*}$

$\begin{align*} x_{1,2} &= -{\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}} \\ x_{1,2} &= -{\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-8}} \\ x_{1,2} &= -3 \pm {\sqrt{9 - 8}} \\ x_{1} &= -3 + {\sqrt{1}} = -2 \\ x_{2} &= -3 - {\sqrt{1}} = -4 \end{align*}$