Quadratische Gleichungen

Bei einer quadratischen Gleichung handelt es sich um eine Gleichung der Form

$\large{ax^2 + bx + c = 0}$

mit $a \neq 0$.

Hierbei sind $a, b, c$ die Koeffizienten; $x$ ist die Unbekannte. Die höchste Potenz welche bei einer quadratischen Gleichung vorkommen darf ist $x^2$. Sollten in der Gleichung dennoch höhere Potenzen vorkommen müssen diese beim Umformen auf die Nullform verschwinden. Andernfalls handelt es sich nich mehr um eine quadratische Gleichung.

Beispiele für Quadratische Gleichungen

$7x^2 + 3x - 4 = 0$
$3x^2 - 12x + 13 = 0$
$42x^2 + 7x - 8 = 0$
$12x^2 - 9 = 0$
$19x^2 - 4x = 0$

Spezialfälle

lineares Glied $b = 0$

Für $b = 0$ entfällt das lineare Glied, man erhält eine rein quadratische Gleichung der Form $\large{ax^2 + c = 0}$.

Die Gleichung lässt sich umformen zu

$x^2 = -\frac{c}{a}$

mit den Lösungen

$x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$

absolutes Glied $c = 0$

Für $c = 0$ entfällt das absolute Glied, man erhält eine Gleichung der Form $\large{ax^2 + bx = 0}$

Die Lösung ergibt sich durch Ausklammern von x - daraus folgt $x(ax + b) = 0$

Die beiden Lösungen kann man hier direkt ablesen und diese lauten

$\begin{align*} x_{1} &= 0 \\ x_{2} &= -\frac{b}{a} \end{align*}$

Lösungsformeln für quadratische Gleichungen

ABC Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung

Liegt die quadratische Gleichung in der Form $ax^2 + bx + c = 0$ vor kann diese auf einfache Weise mit der ABC Formel gelöst werden. Hierbei lautet die ABC Formel:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Die ABC Formel wird hier genauer behandelt: ABC Formel

PQ Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung

Liegt die quadratische Gleichung in der Normalform $x^2 + pq + q = 0$ vor kann diese auf einfache Weise mit der PQ Formel gelöst werden. Hierbei lautet die PQ Formel:
$x_{1,2}=-{\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}}$

Die PQ Formel wird hier genauer behandelt: PQ Formel

Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung

In Zahlenraum der reellen Zahlen kann eine quadratische Gleichung zwei, eine oder keine Lösungen besitzen. Entscheidend ist hierbei der Wert der Wurzel - dieser heißt Diskriminante

ABC Formel	PQ Formel
$x_{1,2} = \frac{-b \pm {\sqrt{\colorbox{yellow}{$b^2 - 4ac$}}}}{2a}$	$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\colorbox{yellow}{$\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$}}}$
$D = b^2 - 4ac$	$D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$

$D > 0$		zwei Lösungen
$D = 0$		eine Lösungen
$D < 0$		keine Lösungen

Normalform der Quadratischen Gleichung

Falls $a = 1$ spricht man von der Normalform. In diesem Fall hat das quadratische Glied $x^2$ den Koeffizienten 1. Sofern die quadratische Gleichung nicht in der Normalform vorliegt kann diese durch Umrechnung aus der allgemeinen Form in die Normalform überführt werden. Hierfür wird die allgemeine Form durch $a$ (mit $a \neq 0$) dividiert wird.

Hierbei definiert man:
$\large{p=\frac{b}{a}}$ und $\large{q=\frac{c}{a}}$

Die quadratische Gleichung lässt sich in der Normalform nun schreiben als
$\large{x^2+px+q=0}$

Die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform vereinfacht sich damit auf
$\large{x_{1,2}=-{\frac{p}{2}{\pm}{\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}}}}$

Da in dieser Formel nur $p$ und $q$ vorkommen wir diese Formel auch PQ Formel genannt.

Nullform der Quadratischen Gleichung

Von der Nullform einer quadratischen Gleichung spricht man wenn auf einer Seite der Gleichung Null ($0$) steht. Die Nullform ist die Voraussetzung dass eine quadratische Gleichung mit der ABC Formel oder der PQ Formel gelöst werden kann.

Beispiel zur Berechnung der quadratischen Gleichung mit Hilfe der ABC Formel

Die Gleichung $3x^2 + 9x + 6 = 0$ wird mit der ABC Formel gelöst. Auf der rechten Seite steht bereits eine Null (0), die Gleichung liegt damit bereits in der Nullform vor. Eine Umformung ist daher nicht notwendig. Die Werte $a, b, c$ können direkt abgelesen werden.

$3x^2 + 9x + 6 = 0$

$a = 3$
$b = 9$
$c = 6$

$x_{1,2} = \frac{-b{\pm}{\sqrt{b^2 - 4ac}}}{2a}$

$x_{1,2} = \frac{-9{\pm}{\sqrt{9^2 - 4{\cdot}3{\cdot}6}}}{2{\cdot}3}$

$x_{1,2} = \frac{-9{\pm}{\sqrt{81 - 72}}}{2{\cdot}3}$

$x_{1,2} = \frac{-9{\pm}{\sqrt{9}}}{6}$

$x_{1} = \frac{-9+3}{6} = -1$

$x_{2} = \frac{-9-3}{6} = -2$

Quadratische Gleichungen Online Rechner auf Mathe-Helferlein

Auf Mathe-Helferlein findest Du drei verschiedene Rechner zum Lösen der Quadratischen Gleichungen. Ergebnis ist natürlich immer dasselbe, aber die Rechner bieten Dir eine optimierte Berechnung an oder lösen die Gleichung (wenn auch nicht immer sinnvoll) mit der ABC Formel oder der PQ Formel.

Quadratische Gleichungen Rechner
Der universelle Rechner für quadratische Gleichungen. Abhängig von der eingegebenen Gleichung verwendet der Rechner die ABC Formel, die PQ Formel oder bei den beiden Spezialfällen die direkten Lösungen.
ABC Formel Rechner
Der ABC Formel Rechner rechnet die eingegebene Gleichung immer mit der ABC Formel, auch wenn diese mit der PQ Formel einfacher zu rechnen gewesen wäre.
PQ Formel Rechner
Der PQ Formel Rechner rechnet die eingegebene Gleichung immer mit der PQ Formel. Sofern sich diese nicht bereits in der Normalform befindet wird die Gleichung erst in die Normalform umgerechnet.