Binomische Formeln

Mit den binomischen Formeln kannst Du bestimmte Klammerausdrücke schnell ausmultiplizieren – und umgekehrt Summen wieder in Klammern verwandeln (faktorisieren).

\[\begin{aligned} (a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 &&\text{1. binomische Formel (Plus-Formel)}\\ (a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 &&\text{2. binomische Formel (Minus-Formel)}\\ (a + b)(a - b) &= a^2 - b^2 &&\text{3. binomische Formel (Plus-Minus-Formel)} \end{aligned}\]

Für $a$ und $b$ können beliebige Terme eingesetzt werden: Zahlen, Variablen, Brüche oder Produkte wie $3x$.

1. binomische Formel

Ein Plus in der Klammer, die Klammer zum Quadrat. Das Ergebnis besteht aus drei Gliedern: dem Quadrat des ersten Terms, dem doppelten Produkt und dem Quadrat des zweiten Terms.

\[(3x + 5)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 = 9x^2 + 30x + 25\]

2. binomische Formel

Wie die erste Formel, nur mit einem Minus in der Klammer. Das Minus taucht nur beim mittleren Glied auf – das letzte Glied ist als Quadrat immer positiv.

\[(2a - 7)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 7 + 7^2 = 4a^2 - 28a + 49\]

3. binomische Formel

Zwei Klammern mit denselben Termen, einmal mit Plus und einmal mit Minus. Das mittlere Glied hebt sich weg, übrig bleibt die Differenz der Quadrate.

\[(x + 4)(x - 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16\]

Typische Fehler

Mittleres Glied vergessen: $(x + 3)^2$ ist nicht $x^2 + 9$, sondern $x^2 + 6x + 9$.
Faktor nicht mitquadriert: $(3x)^2 = 9x^2$ und nicht $3x^2$.
Vorzeichen beim letzten Glied: Bei der 2. binomischen Formel ist $b^2$ immer positiv: $(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$.

Rechner und Übungsaufgaben

Binomische Formeln Rechner Term eingeben – der Rechner erkennt die Formel und zeigt den Rechenweg. Übungsaufgaben Aufgaben zu allen drei Formeln – mit Lösung und Rechenweg.