Quadratische Gleichungen Rechner
Der Rechner bringt Deine Gleichung in die Nullform und wählt dann den einfachsten Lösungsweg: die pq-Formel, die abc-Formel oder – bei den Sonderfällen $b = 0$ und $c = 0$ – den direkten Weg ohne Formel.
Ergebnis
Die Gleichung hat zwei Lösungen.
- \(\displaystyle x_1 = -1 + \sqrt{5}\)≈ 1,2361
- \(\displaystyle x_2 = -1 - \sqrt{5}\)≈ -3,2361
Vor $x^2$ steht keine 1 – deshalb wird die abc-Formel (Mitternachtsformel) verwendet.
Rechenweg
Deine Gleichung
\[4\,x^{2} + 8\,x - 16 = 0\]$a$, $b$ und $c$ ablesen
\[a = 4,\qquad b = 8,\qquad c = -16\]In die abc-Formel einsetzen
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]\[x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 4 \cdot \left(-16\right)}}{2 \cdot 4}\]Ausrechnen
Erst $-b$, $b^2$, $4ac$ und $2a$ berechnen, dann den Wert unter der Wurzel zusammenfassen.
\[x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - \left(-256\right)}}{8}\]\[x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{320}}{8}\]Wurzel ziehen
Der Wert unter der Wurzel ist positiv – es gibt zwei Lösungen.
\[D = b^2 - 4ac = 320 > 0\]\[\sqrt{320} = 8\,\sqrt{5}\]Lösungen berechnen
Einmal mit $+$ und einmal mit $-$ vor der Wurzel rechnen.
\[x_1 = \frac{-8 + 8\,\sqrt{5}}{8} = -1 + \sqrt{5}\]\[x_2 = \frac{-8 - 8\,\sqrt{5}}{8} = -1 - \sqrt{5}\]
Welcher Lösungsweg wird verwendet?
| Form der Gleichung | Lösungsweg |
|---|---|
| $ax^2 + c = 0$ (kein $x$-Glied, $b = 0$) | nach $x^2$ auflösen und die Wurzel ziehen |
| $ax^2 + bx = 0$ (keine Zahl, $c = 0$) | $x$ ausklammern – eine Lösung ist immer $x = 0$ |
| $x^2 + px + q = 0$ (vor $x^2$ steht eine 1) | pq-Formel |
| $ax^2 + bx + c = 0$ (sonst) | abc-Formel |
Möchtest Du immer mit derselben Formel rechnen, nimm den pq-Formel Rechner oder den abc-Formel Rechner. Zum Üben gibt es die Übungsaufgaben zu quadratischen Gleichungen.