Quadratische Gleichungen Rechner
Der Rechner bringt Deine Gleichung in die Nullform und wählt dann den einfachsten Lösungsweg: die pq-Formel, die abc-Formel oder – bei den Sonderfällen $b = 0$ und $c = 0$ – den direkten Weg ohne Formel.
Ergebnis
Die Gleichung hat zwei Lösungen.
- \(\displaystyle x_1 = 5 + 2\,\sqrt{5}\)≈ 9,4721
- \(\displaystyle x_2 = 5 - 2\,\sqrt{5}\)≈ 0,5279
Vor $x^2$ steht eine 1 (Normalform) – deshalb wird die pq-Formel verwendet.
Rechenweg
Deine Gleichung
\[x^{2} - 10\,x + 5 = 0\]$p$ und $q$ ablesen
\[p = -10,\qquad q = 5\]In die pq-Formel einsetzen
\[x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\]\[x_{1,2} = -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-10}{2}\right)^2 - 5}\]Ausrechnen
Erst $-\frac{p}{2}$ und $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ berechnen, dann den Wert unter der Wurzel zusammenfassen.
\[x_{1,2} = 5 \pm \sqrt{25 - 5}\]\[x_{1,2} = 5 \pm \sqrt{20}\]Wurzel ziehen
Der Wert unter der Wurzel ist positiv – es gibt zwei Lösungen.
\[D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q = 20 > 0\]\[\sqrt{20} = 2\,\sqrt{5}\]Lösungen berechnen
Einmal mit $+$ und einmal mit $-$ vor der Wurzel rechnen.
\[x_1 = 5 + 2\,\sqrt{5}\]\[x_2 = 5 - 2\,\sqrt{5}\]
Welcher Lösungsweg wird verwendet?
| Form der Gleichung | Lösungsweg |
|---|---|
| $ax^2 + c = 0$ (kein $x$-Glied, $b = 0$) | nach $x^2$ auflösen und die Wurzel ziehen |
| $ax^2 + bx = 0$ (keine Zahl, $c = 0$) | $x$ ausklammern – eine Lösung ist immer $x = 0$ |
| $x^2 + px + q = 0$ (vor $x^2$ steht eine 1) | pq-Formel |
| $ax^2 + bx + c = 0$ (sonst) | abc-Formel |
Möchtest Du immer mit derselben Formel rechnen, nimm den pq-Formel Rechner oder den abc-Formel Rechner. Zum Üben gibt es die Übungsaufgaben zu quadratischen Gleichungen.