Ableitung einfach erklärt
Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich. Bei einer Kurve ändert sie sich ständig – mal geht es steil bergauf, mal flach, mal bergab. Die Ableitung $f'(x)$ gibt Dir für jede Stelle $x$ die Steigung des Graphen an.
Von der Sekante zur Tangente
Die Steigung zwischen zwei Punkten eines Graphen kannst Du schon berechnen: Du legst eine Gerade durch beide Punkte – eine Sekante – und bestimmst ihre Steigung mit dem Steigungsdreieck. Diese Steigung heißt Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate):
Lässt Du den zweiten Punkt immer näher an den ersten heranrücken ($h \to 0$), wird aus der Sekante die Tangente. Sie berührt den Graphen im Punkt $P$ und hat dort dieselbe Steigung wie der Graph. An anderen Stellen darf sie den Graphen durchaus noch einmal schneiden.
$f(x) = x^2$: Die Sekante durch $P$ und $Q$ hat die Steigung 4, die Tangente in $P$ die Steigung 2.
Merke
Die Ableitung an der Stelle $x_0$ ist der Grenzwert des Differenzenquotienten (Differentialquotient):
$f'(x_0)$ ist die Steigung der Tangente im Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ – die momentane Änderungsrate.
Beispiel: die h-Methode
So berechnest Du die Ableitung von $f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = 1$ mit der Definition:
Rechnest Du dasselbe allgemein für eine beliebige Stelle $x$, kommt $f'(x) = 2x$ heraus. Diese Funktion heißt Ableitungsfunktion. Zum Glück musst Du nicht jedes Mal die h-Methode benutzen – mit den Ableitungsregeln geht es viel schneller.
Tipp: Was die Ableitung verrät
- $f'(x) > 0$: Der Graph steigt an dieser Stelle.
- $f'(x) < 0$: Der Graph fällt.
- $f'(x) = 0$: Die Tangente ist waagerecht – hier kann ein Hoch- oder Tiefpunkt liegen.
Schreibweisen
Für die Ableitung gibt es mehrere Schreibweisen, die alle dasselbe bedeuten: $f'(x)$ („f Strich von x“), $\frac{df}{dx}$ oder $\frac{dy}{dx}$. Die zweite Ableitung – also die Ableitung der Ableitung – schreibt man $f''(x)$. Sie beschreibt, wie sich die Steigung ändert, also die Krümmung des Graphen.
Tangentengleichung
Die Tangente an der Stelle $x_0$ ist eine Gerade mit der Steigung $m = f'(x_0)$ durch den Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$:
Beispiel
Gesucht ist die Tangente an $f(x) = x^3 - 2x$ an der Stelle $x_0 = 2$.
- Funktionswert: $f(2) = 8 - 4 = 4$, also $P(2 \mid 4)$.
- Ableitung: $f'(x) = 3x^2 - 2$, also $f'(2) = 12 - 2 = 10$.
- Einsetzen: $t(x) = 10 \cdot (x - 2) + 4 = 10x - 16$.
Typischer Fehler
In die Tangentengleichung gehört die Zahl $f'(x_0)$, nicht die Funktion $f'(x)$. Erst die Stelle einsetzen, dann die Gerade aufstellen!
Online üben: Ableiten mit der Potenzregel
Bilde die erste Ableitung. Die Regel: Exponent nach vorne, Exponent minus 1 – mehr dazu bei den Ableitungsregeln.
Stufe 1: Potenz-, Faktor- und Summenregel
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Aufgabe 1
\(f(x) = 8x^{3} - x\)\(f'(x) = 24x^{2} - 1\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = -3x^{5} - 4x + 9\)\(f'(x) = -15x^{4} - 4\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = 4x^{2} + 7x + 6\)\(f'(x) = 8x + 7\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = -x^{4} - 2x^{3} + 2x + 7\)\(f'(x) = -4x^{3} - 6x^{2} + 2\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = -6x^{2} + x + 5\)\(f'(x) = -12x + 1\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = 4x^{4} + 2x^{3} + 3x\)\(f'(x) = 16x^{3} + 6x^{2} + 3\)
Online üben: Tangenten
Stufe 1: quadratische Funktionen
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Aufgabe 1
\(f(x) = 2x^{2} + 5x + 2,\quad x_0 = -3\)\(t(x) = -7x - 16\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = 5x^{2} - 3,\quad x_0 = 3\)\(t(x) = 30x - 48\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = -x^{2} + 2x + 1,\quad x_0 = 1\)\(t(x) = 2\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = -5x^{2} + 2x + 5,\quad x_0 = 0\)\(t(x) = 2x + 5\)
Arbeitsblatt: Ableitungen bilden
Bis zu 12 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Arbeitsblatt: Tangentengleichung bestimmen
Bis zu 8 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11.
Jede Funktion Schritt für Schritt ableiten: Ableitungsrechner. Tangenten an Polynome berechnet auch der Kurvendiskussion-Rechner.
Weiterlesen: Differentialrechnung bei Wikipedia