Teilbarkeitsregeln
Ist 7 254 durch 3 teilbar? Mit den Teilbarkeitsregeln findest Du das heraus, ohne zu dividieren. Das ist praktisch beim Kürzen von Brüchen, bei der Primfaktorzerlegung und beim Kopfrechnen.
Merke
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt. Man schreibt $3 \mid 12$ („3 teilt 12“) und $5 \nmid 12$ („5 teilt 12 nicht“).
Endstellenregeln
Hier musst Du nur auf die letzten Ziffern schauen:
| teilbar durch | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| 2 | letzte Ziffer ist gerade (0, 2, 4, 6, 8) | 3 574 ✓ |
| 5 | letzte Ziffer ist 0 oder 5 | 1 235 ✓ |
| 10 | letzte Ziffer ist 0 | 4 760 ✓ |
| 4 | die letzten zwei Ziffern bilden eine durch 4 teilbare Zahl | 7 316 ✓ (16 : 4 = 4) |
| 25 | die letzten zwei Ziffern sind 00, 25, 50 oder 75 | 8 475 ✓ |
| 8 | die letzten drei Ziffern bilden eine durch 8 teilbare Zahl | 5 136 ✓ (136 : 8 = 17) |
Quersummenregeln
Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer Zahl. Die Quersumme von 7 254 ist $7 + 2 + 5 + 4 = 18$.
| teilbar durch | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| 3 | Quersumme ist durch 3 teilbar | 7 254: QS = 18 ✓ |
| 9 | Quersumme ist durch 9 teilbar | 7 254: QS = 18 ✓ |
Tipp
Ist die Quersumme noch groß, bildest Du einfach noch einmal die Quersumme: 99 999 hat die Quersumme 45, und 45 hat die Quersumme 9 – also ist 99 999 durch 9 teilbar.
Kombinierte Regeln
Für manche Zahlen kombinierst Du zwei Regeln. Das geht nur mit Zahlen, die keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben (man sagt: sie sind teilerfremd):
- durch 6: durch 2 und durch 3 teilbar
- durch 12: durch 3 und durch 4 teilbar
- durch 15: durch 3 und durch 5 teilbar
- durch 18: durch 2 und durch 9 teilbar
Typischer Fehler
„Durch 2 und durch 4 teilbar“ bedeutet nicht „durch 8 teilbar“: 12 ist durch 2 und durch 4 teilbar, aber nicht durch 8. Die Zahlen 2 und 4 haben den gemeinsamen Teiler 2.
Übersicht an Beispielen
| Zahl | Quersumme | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 120 | 3 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | – | ✓ | – |
| 135 | 9 | – | ✓ | – | ✓ | – | – | ✓ | – | – |
| 7254 | 18 | ✓ | ✓ | – | – | ✓ | – | ✓ | – | – |
| 3416 | 14 | ✓ | – | ✓ | – | – | ✓ | – | – | – |
| 1575 | 18 | – | ✓ | – | ✓ | – | – | ✓ | – | ✓ |
| 9990 | 27 | ✓ | ✓ | – | ✓ | ✓ | – | ✓ | ✓ | – |
Teiler und Vielfache
Die Teiler einer Zahl sind alle Zahlen, durch die sie ohne Rest teilbar ist. Die Teilermenge von 12 ist $T_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$. Die Vielfachen einer Zahl erhältst Du durch Malnehmen: $V_{4} = \{4, 8, 12, 16, 20, \ldots\}$.
Teiler findest Du am besten paarweise: $12 = 1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$. Mit dem Primfaktor-Rechner bekommst Du alle Teiler einer Zahl auf einen Blick.
Weiterlesen: Teilbarkeit bei Wikipedia