Binomialverteilung
Du würfelst 10-mal. Wie wahrscheinlich sind genau 2 Sechsen? Oder höchstens 3? Für solche Fragen – ein Versuch mit zwei möglichen Ausgängen wird mehrmals wiederholt – gibt es die Binomialverteilung.
Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette
- Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei Ausgänge: Treffer (Wahrscheinlichkeit $p$) oder Niete (Wahrscheinlichkeit $1 - p$). Beispiel: Sechs oder keine Sechs.
- Wird es $n$-mal unabhängig und unter gleichen Bedingungen wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge $n$.
- Die Zufallsgröße $X$ zählt die Treffer. Sie ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$.
Achtung
Die Trefferwahrscheinlichkeit muss bei jedem Versuch gleich sein. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sie sich – das ist streng genommen keine Bernoulli-Kette (bei sehr großen Grundgesamtheiten rechnet man trotzdem oft näherungsweise so).
Die Formel von Bernoulli
Merke
- $p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad mit $k$ Treffern und $n - k$ Nieten.
- $\binom{n}{k}$ zählt, wie viele solche Pfade es gibt – an welchen Stellen die Treffer liegen können.
Beispiel: genau 2 Sechsen bei 10 Würfen
Mit knapp 29 % Wahrscheinlichkeit fallen genau zwei Sechsen.
Die Verteilung als Histogramm
Für $n = 10$ und $p = \frac{1}{6}$ sieht die Verteilung so aus. Am wahrscheinlichsten ist eine Sechs, gefolgt von zwei Sechsen:
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten
Fragen wie „höchstens“ oder „mindestens“ betreffen mehrere Werte von $k$:
| Frage | so rechnest Du |
|---|---|
| höchstens 2 Sechsen | $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0{,}7752$ |
| mindestens 1 Sechs | $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \approx 0{,}8385$ |
| mehr als 2 Sechsen | $P(X > 2) = P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) \approx 0{,}2248$ |
Tipp: Gegenereignis
Bei „mindestens“ ist das Gegenereignis fast immer schneller: „mindestens eine Sechs“ ist das Gegenteil von „keine Sechs“.
Erwartungswert und Standardabweichung
Merke
Bei 10 Würfen erwartest Du $\mu = 10 \cdot \frac{1}{6} \approx 1{,}67$ Sechsen. Die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{10 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} \approx 1{,}18$ zeigt, wie stark die Trefferzahl typischerweise um diesen Wert schwankt.
Tipp: Sigma-Regeln
Ist $\sigma > 3$, liegt die Trefferzahl mit etwa 68 % Wahrscheinlichkeit im Bereich $\mu \pm \sigma$ und mit etwa 95 % im Bereich $\mu \pm 2\sigma$.
Mit dem Binomialverteilung-Rechner berechnest Du alle Wahrscheinlichkeiten mit Rechenweg, Tabelle und Histogramm. Die Grundlagen zu $\binom{n}{k}$ findest Du in der Kombinatorik.
Weiterlesen: Binomialverteilung bei Wikipedia