Exponentialfunktionen
Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable $x$ im Exponenten: $f(x) = a \cdot b^x$. Solche Funktionen beschreiben Vorgänge, bei denen sich eine Größe in gleichen Zeitabschnitten immer um denselben Faktor ändert – zum Beispiel Bakterien, die sich verdoppeln, oder ein Guthaben mit Zinseszins.
Linear oder exponentiell?
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| linear: $1 + 2x$ (immer $+2$) | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
| exponentiell: $1 \cdot 2^x$ (immer $\cdot 2$) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
Merke
Lineares Wachstum: pro Schritt wird immer dieselbe Zahl addiert.
Exponentielles Wachstum: pro Schritt wird immer mit derselben Zahl multipliziert. Auf Dauer wächst exponentiell immer schneller als jede lineare Funktion.
Wachstum und Zerfall
- $b > 1$: exponentielles Wachstum – der Graph steigt immer steiler.
- $0 < b < 1$: exponentielle Abnahme (Zerfall) – der Graph fällt und nähert sich der x-Achse.
- Alle Graphen von $b^x$ gehen durch den Punkt $(0 \mid 1)$, denn $b^0 = 1$. Bei $a \cdot b^x$ ist es der Punkt $(0 \mid a)$.
- Die Funktionswerte von $b^x$ (und von $a \cdot b^x$ mit $a > 0$) sind immer positiv. Die x-Achse wird nie erreicht – sie ist eine Asymptote.
Prozentuales Wachstum
Wächst eine Größe um $p\,\%$ pro Zeitschritt, ist der Wachstumsfaktor $b = 1 + \frac{p}{100}$. Nimmt sie um $p\,\%$ ab, ist $b = 1 - \frac{p}{100}$.
Beispiel: Sparkonto mit Zinseszins
1000 € werden mit 3 % pro Jahr verzinst: $b = 1{,}03$.
Beispiel: Wertverlust
Ein Auto für 30 000 € verliert jedes Jahr 20 % seines Wertes: $b = 0{,}8$.
Beispiel: Bakterien
100 Bakterien verdoppeln sich jede Stunde: $f(t) = 100 \cdot 2^t$. Nach 5 Stunden sind es $100 \cdot 2^5 = 3200$ Bakterien.
Verdopplungszeit und Halbwertszeit
Die Verdopplungszeit $T_2$ ist die Zeit, nach der sich die Größe verdoppelt hat – egal, wann Du anfängst zu messen. Beim Zerfall heißt die entsprechende Zeit Halbwertszeit $T_{1/2}$. Man berechnet sie mit dem Logarithmus:
Beim Sparkonto mit 3 % ist $T_2 = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}4$ Jahre. Beim Auto mit 20 % Wertverlust ist $T_{1/2} = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}8} \approx 3{,}1$ Jahre.
Tipp: Die 70er-Regel
Für kleine Prozentsätze gilt grob: Verdopplungszeit $\approx 70 : p$. Bei 3 % also etwa $70 : 3 \approx 23$ Jahre.
Die e-Funktion
Eine besondere Exponentialfunktion ist $f(x) = e^x$ mit der Eulerschen Zahl $e \approx 2{,}718$. Sie hat eine einmalige Eigenschaft: An jeder Stelle ist ihre Steigung genauso groß wie ihr Funktionswert. Deshalb spielt sie in der Oberstufe bei Ableitungen und Wachstumsmodellen eine große Rolle. Jede Exponentialfunktion lässt sich als $a \cdot e^{kx}$ schreiben, mit $k = \ln b$.
Typische Fehler
- $a \cdot b^x$ ist nicht $(a \cdot b)^x$ – zuerst wird potenziert, dann multipliziert.
- Bei 5 % Abnahme ist $b = 0{,}95$ und nicht $0{,}05$.
- $2^x$ und $x^2$ verwechseln: Bei $x^2$ steht die Variable unten (Parabel), bei $2^x$ oben (Exponentialfunktion).
Zeichne verschiedene Wachstumsfaktoren im Funktionsplotter. Mehr zum Zinseszins findest Du bei der Zinseszinsrechnung.
Weiterlesen: Exponentialfunktion bei Wikipedia