Geometrie
In der Geometrie geht es um Formen, Längen, Winkel, Flächen und Körper. Du lernst, Figuren zu erkennen und zu zeichnen, und Du berechnest, wie lang ein Zaun sein muss, wie viel Farbe für eine Wand nötig ist oder wie viel Wasser in ein Aquarium passt.
Was lernst Du in welcher Klasse?
| Klasse | Themen |
|---|---|
| 1–4 | Ebene Figuren erkennen, Symmetrie, Würfel und Quader, Umfang und Fläche durch Zählen und Auslegen |
| 5–6 | Winkel messen und zeichnen, Umfang und Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat, Volumen und Oberfläche von Würfel und Quader |
| 7–8 | Winkelsätze, Dreieck, Parallelogramm und Trapez, Prisma, Kreis |
| 8–9 | Satz des Pythagoras, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel, Strahlensätze |
| 9–10 | Sinus, Kosinus und Tangens, Sinussatz und Kosinussatz |
Die Reihenfolge unterscheidet sich etwas zwischen den Bundesländern und Schularten – im Zweifel hilft ein Blick ins Schulbuch.
Formelsammlung: Umfang und Flächeninhalt
Der Umfang U ist die Länge des Randes, der Flächeninhalt A sagt, wie viel Fläche die Figur bedeckt. Ausführlich mit Beispielen: Umfang und Flächeninhalt.
\[A = a^2 \qquad U = 4a\]
\[A = a \cdot b \qquad U = 2a + 2b\]
\[A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g\]
\[A = a \cdot h_a \qquad U = 2a + 2b\]
\[A = \frac{a + c}{2} \cdot h\]
\[A = \frac{e \cdot f}{2}\]
\[A = \pi r^2 \qquad U = 2 \pi r\]
Formelsammlung: Volumen und Oberfläche
Das Volumen V gibt an, wie viel in einen Körper hineinpasst, die Oberfläche O ist die Summe aller Begrenzungsflächen. Mehr dazu auf der Seite Körper berechnen.
\[V = a^3 \qquad O = 6a^2\]
\[V = a \cdot b \cdot c \qquad O = 2(ab + ac + bc)\]
\[V = G \cdot h \qquad O = 2G + M\]
\[V = \pi r^2 h \qquad O = 2\pi r^2 + 2\pi r h\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\]
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \qquad O = \pi r^2 + \pi r s\]
\[V = \frac{4}{3} \pi r^3 \qquad O = 4 \pi r^2\]
Merke: Die richtige Einheit
- Längen und Umfang in cm, m … – zum Beispiel $U = 14\,\text{cm}$.
- Flächen in Quadrat-Einheiten – zum Beispiel $A = 12\,\text{cm}^2$.
- Volumen in Kubik-Einheiten – zum Beispiel $V = 24\,\text{cm}^3$. Dabei gilt $1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{Liter}$.
Bevor Du rechnest, müssen alle Längen in derselben Einheit stehen. Hilfe beim Umrechnen: Flächeneinheiten und Volumeneinheiten.
Die wichtigsten Sätze der Geometrie
| Satz | Formel | Wofür? |
|---|---|---|
| Winkelsumme im Dreieck | $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ | fehlenden Winkel im Dreieck berechnen |
| Satz des Pythagoras | $a^2 + b^2 = c^2$ | fehlende Seite im rechtwinkligen Dreieck |
| Sinus, Kosinus, Tangens | $\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ | Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck |
| Sinussatz | $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$ | beliebige Dreiecke (WSW, SWW, SSW) |
| Kosinussatz | $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$ | beliebige Dreiecke (SSS, SWS) |
| Strahlensätze | $\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}} = \frac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}$ | Längen bei parallelen Geraden |
Tipp: Erst skizzieren, dann rechnen
Mach bei jeder Geometrie-Aufgabe zuerst eine kleine Skizze und trage alle gegebenen Werte ein. Markiere, was gesucht ist. So erkennst Du schnell, welche Formel passt – und Du merkst, wenn ein Ergebnis gar nicht stimmen kann.
Erklärungen
ErklärungEbene Figuren – Dreieck, Viereck, Kreis und SymmetrieDreiecke, Quadrate, Rechtecke und Kreise erkennen und beschreiben – und was achsensymmetrisch bedeutet.ErklärungWinkel – Winkelarten, Messen und WinkelsätzeSpitze, rechte und stumpfe Winkel, Messen mit dem Geodreieck, Neben-, Scheitel- und Stufenwinkel und die Winkelsumme.ErklärungUmfang und Flächeninhalt – alle Formeln mit BeispielenQuadrat, Rechteck, Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Raute und Drachen – Formeln, Herleitung und Beispiele.ErklärungKreis berechnen – Umfang, Fläche, Kreisausschnitt und πRadius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt des Kreises, die Zahl π, Kreisbogen und Kreisausschnitt.ErklärungKörper berechnen – Volumen und OberflächeWürfel, Quader, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel – Volumen, Oberfläche und Netze verständlich erklärt.ErklärungSatz des Pythagoras – einfach erklärt mit Beispielena² + b² = c² – wann der Satz gilt, wie Du Hypotenuse und Katheten berechnest und wo er im Alltag hilft.ErklärungSinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen DreieckGegenkathete, Ankathete, Hypotenuse – mit sin, cos und tan fehlende Seiten und Winkel berechnen.ErklärungSinussatz und Kosinussatz – beliebige Dreiecke berechnenWie Du in jedem Dreieck fehlende Seiten und Winkel berechnest – auch den Sonderfall SSW mit zwei Lösungen.ErklärungStrahlensätze – einfach erklärt mit BeispielenErster und zweiter Strahlensatz, Streckenverhältnisse aufstellen und unbekannte Längen berechnen.
Online-Rechner
RechnerFlächenrechner – Fläche und Umfang berechnen mit RechenwegQuadrat, Rechteck, Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Raute und Drachen – auch fehlende Seiten und Höhen, mit Skizze.RechnerKreisrechner – Radius, Umfang und Fläche berechnenAus Radius, Durchmesser, Umfang oder Fläche alle anderen Größen berechnen – auch Kreisausschnitt und Kreisbogen.RechnerKörperrechner – Volumen und Oberfläche berechnenVolumen, Oberfläche und Mantel von Würfel, Quader, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel – mit Schrägbild.RechnerPythagoras-Rechner mit RechenwegHypotenuse oder Kathete im rechtwinkligen Dreieck berechnen – exakt mit Wurzel und gerundet, mit Skizze.RechnerRechner für das rechtwinklige DreieckAus zwei Angaben alle Seiten, Winkel, Höhe, Hypotenusenabschnitte, Fläche und Umfang berechnen – mit Rechenweg.RechnerDreiecksrechner – beliebiges Dreieck berechnenSSS, SWS, WSW, SWW und SSW – alle Seiten, Winkel, Höhen und den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen.
Arbeitsblätter zum Ausdrucken
Weiterlesen: Geometrie bei Wikipedia
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