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Erwartungswert

Lohnt sich ein Glücksspiel? Was gewinnt man „im Durchschnitt“, wenn man sehr oft spielt? Diese Frage beantwortet der Erwartungswert.

Zufallsgröße

Eine Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine Zahl zu – zum Beispiel einen Gewinn in Euro oder die Augenzahl beim Würfeln. Die Tabelle aller Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Den Erwartungswert berechnen

Merke

Multipliziere jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere alles:

\[E(X) = x_1 \cdot P(X = x_1) + x_2 \cdot P(X = x_2) + \ldots + x_n \cdot P(X = x_n)\]

Beispiel: Augenzahl beim Würfeln

\[E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5\]

Würfelst Du sehr oft, liegt der Durchschnitt aller Augenzahlen bei etwa 3,5 – obwohl man eine 3,5 nie würfeln kann.

Gewinnspiel und faires Spiel

Beispiel: Glücksrad auf dem Schulfest

Ein Spiel kostet 1 €. Das Glücksrad hat 10 gleich große Felder: 1 Feld bringt 5 €, 2 Felder bringen 2 €, die übrigen 7 Felder nichts. $X$ sei der Reingewinn (Auszahlung minus Einsatz).

Reingewinn $x$4 €1 €−1 €
$P(X = x)$$\frac{1}{10}$$\frac{2}{10}$$\frac{7}{10}$
\[E(X) = 4 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{2}{10} + (-1) \cdot \frac{7}{10} = \frac{4 + 2 - 7}{10} = -0{,}10\,\text{€}\]

Im Durchschnitt verliert ein Spieler 10 Cent pro Spiel. Für die Klassenkasse ist das gut: Bei 300 Spielen bleiben etwa 30 € übrig.

Merke

Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Reingewinns 0 ist. Ist er negativ, verliert der Spieler auf lange Sicht, ist er positiv, gewinnt er.

Tipp: Spiel fair machen

Wie hoch müsste der Einsatz beim Glücksrad sein, damit das Spiel fair ist? Die erwartete Auszahlung ist $5 \cdot \frac{1}{10} + 2 \cdot \frac{2}{10} = 0{,}90\,\text{€}$. Bei einem Einsatz von 90 Cent wäre das Spiel fair.

Typischer Fehler

Verwechsle nicht Auszahlung und Reingewinn: Beim Reingewinn musst Du den Einsatz abziehen – auch bei den Feldern, auf denen man etwas gewinnt.

Erwartungswert bei der Binomialverteilung

Für eine Bernoulli-Kette mit $n$ Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit $p$ gibt es eine kurze Formel: $E(X) = n \cdot p$. Wirfst Du 60-mal einen Würfel, erwartest Du $60 \cdot \frac{1}{6} = 10$ Sechsen. Mehr dazu bei der Binomialverteilung.

Weiterlesen: Erwartungswert bei Wikipedia

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