Sinus- und Kosinusfunktion
Sinus und Kosinus kennst Du aus dem rechtwinkligen Dreieck. Als Funktionen beschreiben sie alles, was sich regelmäßig wiederholt: Schwingungen, Wellen, Tageslänge, Ebbe und Flut.
Vom Einheitskreis zur Funktion
Am Einheitskreis (Radius 1) dreht sich ein Zeiger um den Ursprung. Zum Drehwinkel $\alpha$ gehört ein Punkt auf dem Kreis. Seine y-Koordinate ist $\sin\alpha$, seine x-Koordinate ist $\cos\alpha$.
Dreht sich der Zeiger immer weiter, wiederholen sich die Werte nach einer vollen Umdrehung (360°). Trägt man $\sin\alpha$ über dem Winkel auf, entsteht die Sinuskurve.
Bogenmaß
Für Funktionen misst man Winkel im Bogenmaß (rad): Der Winkel ist die Länge des Bogens auf dem Einheitskreis. Eine volle Umdrehung entspricht dem Kreisumfang $2\pi \approx 6{,}28$.
| Gradmaß | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Bogenmaß | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
Die Graphen von Sinus und Kosinus
| $f(x) = \sin x$ | $f(x) = \cos x$ | |
|---|---|---|
| Periode | $2\pi$ – danach wiederholt sich der Graph | |
| Wertebereich | $-1 \leq f(x) \leq 1$ | |
| Nullstellen | $0,\ \pm\pi,\ \pm 2\pi, \ldots$ (Vielfache von $\pi$) | $\pm\frac{\pi}{2},\ \pm\frac{3\pi}{2}, \ldots$ |
| Hochpunkte (Wert 1) | $\frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi$ | $0 + k \cdot 2\pi$ |
| Symmetrie | punktsymmetrisch zum Ursprung | achsensymmetrisch zur y-Achse |
Der Kosinus ist ein um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschobener Sinus: $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.
Die allgemeine Sinusfunktion
- $|a|$ ist die Amplitude – der größte Ausschlag nach oben und unten.
- $b$ verändert die Periode: $p = \dfrac{2\pi}{|b|}$. Bei $b = 2$ ist die Kurve doppelt so schnell, die Periode nur $\pi$.
- $c$ verschiebt die Kurve nach rechts (bei $c > 0$).
- $d$ verschiebt die Kurve nach oben – $y = d$ ist die neue Mittellinie.
Beispiel
$f(x) = 2\sin(2x) + 1$: Amplitude 2, Periode $\frac{2\pi}{2} = \pi$, Mittellinie $y = 1$. Die Werte liegen zwischen $1 - 2 = -1$ und $1 + 2 = 3$.
Die Tangensfunktion
$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ hat die Periode $\pi$. Wo $\cos x = 0$ ist (bei $\pm\frac{\pi}{2}, \pm\frac{3\pi}{2}, \ldots$), ist der Tangens nicht definiert – dort hat der Graph senkrechte Asymptoten.
Achtung beim Taschenrechner
Für Sinusfunktionen muss der Taschenrechner auf RAD (Bogenmaß) stehen. Im Dreieck rechnest Du dagegen meist in DEG (Grad).
Verändere $a$, $b$, $c$ und $d$ selbst im Funktionsplotter und beobachte, was passiert.
Weiterlesen: Sinus und Kosinus bei Wikipedia