Vektoren
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: um wie viel es nach rechts, nach oben (und im Raum nach vorn) geht. Man zeichnet ihn als Pfeil. Mit Vektoren rechnest Du in der Oberstufe Geometrie im Koordinatensystem – das nennt man Analytische Geometrie.
Was ist ein Vektor?
Alle Pfeile, die gleich lang und gleich gerichtet sind, stellen denselben Vektor dar – egal, wo sie anfangen. Ein Vektor wird mit einem kleinen Pfeil über dem Buchstaben geschrieben und in Spaltenform angegeben:
Die Zahlen heißen Koordinaten (oder Komponenten). $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ bedeutet: 3 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach oben. Im Raum gibt es drei Achsen $x_1$, $x_2$, $x_3$.
Merke: Punkt oder Vektor?
- Ein Punkt ist ein fester Ort: $P(2 \mid 3 \mid 2)$ – geschrieben mit senkrechten Strichen.
- Ein Vektor ist eine Verschiebung, geschrieben als Spalte. Der Vektor vom Ursprung $O$ zum Punkt $P$ heißt Ortsvektor $\vec{p} = \overrightarrow{OP}$ und hat dieselben Koordinaten wie $P$.
- Der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ ist $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ („Spitze minus Fuß“).
Alle Formeln auf einen Blick
| Thema | Formel |
|---|---|
| Addition | $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}$ |
| Vielfaches | $r \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} r a_1 \\ r a_2 \\ r a_3 \end{pmatrix}$ |
| Verbindungsvektor | $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ |
| Betrag (Länge) | $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ |
| Abstand zweier Punkte | $d(A, B) = |\overrightarrow{AB}|$ |
| Skalarprodukt | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$ |
| Winkel | $\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ |
| Kreuzprodukt | $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$ |
| Gerade | $g\colon \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ |
Tipp
Vektoren rechnest Du fast immer Zeile für Zeile: erste Koordinate mit erster, zweite mit zweiter, dritte mit dritter. Kontrolliere Deine Rechnung mit dem Vektorrechner – er rechnet exakt mit Brüchen und Wurzeln und zeigt jeden Schritt.
Erklärungen
Online-Rechner
Arbeitsblätter zum Ausdrucken
| Arbeitsblatt | Klasse | PDF mit Lösungen |
|---|---|---|
| Vektoren addieren, subtrahieren und vervielfachen | 11, 12 | Stufe 1Stufe 2Stufe 3 |
| Betrag von Vektoren und Abstand von Punkten | 11, 12 | Stufe 1Stufe 2Stufe 3 |
| Skalarprodukt, Orthogonalität und Winkel | 11, 12, 13 | Stufe 1Stufe 2Stufe 3 |
| Geraden im Raum | 11, 12, 13 | Stufe 1Stufe 2Stufe 3 |
| Kreuzprodukt und Flächeninhalt | 12, 13 | Stufe 1Stufe 2 |
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