Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt) zweier Vektoren im Raum ergibt wieder einen Vektor. Er steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren, und seine Länge ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen.
Das Kreuzprodukt berechnen
Merke: Kreuzprodukt
Merkhilfe
Für jede Koordinate deckst Du die eigene Zeile ab und rechnest mit den beiden anderen „über Kreuz“: Für die erste Koordinate rechnest Du mit Zeile 2 und 3: $a_2 b_3 - a_3 b_2$. Für die zweite mit Zeile 3 und 1: $a_3 b_1 - a_1 b_3$. Für die dritte mit Zeile 1 und 2: $a_1 b_2 - a_2 b_1$. Die Zeilen laufen also immer im Kreis: 2–3, 3–1, 1–2.
Beispiel
Probe mit dem Skalarprodukt: $(-3) \cdot 1 + 6 \cdot 2 + (-3) \cdot 3 = 0$ und $(-3) \cdot 4 + 6 \cdot 5 + (-3) \cdot 6 = 0$ – der Ergebnisvektor steht auf beiden senkrecht.
Eigenschaften
- $\vec{a} \times \vec{b}$ steht senkrecht auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$. Er ist ein Normalenvektor der Ebene, die von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannt wird.
- Die Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel: Daumen in Richtung $\vec{a}$, Zeigefinger in Richtung $\vec{b}$ – dann zeigt der abgespreizte Mittelfinger in Richtung $\vec{a} \times \vec{b}$.
- Die Reihenfolge zählt: $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$.
- Sind $\vec{a}$ und $\vec{b}$ parallel, ist das Kreuzprodukt der Nullvektor.
- Das Kreuzprodukt gibt es nur für Vektoren im Raum (mit drei Koordinaten).
Flächeninhalt von Parallelogramm und Dreieck
Merke
Beispiel: Dreieck im Raum
$A(1 \mid 0 \mid 0)$, $B(0 \mid 2 \mid 0)$, $C(0 \mid 0 \mid 3)$. Zuerst die Verbindungsvektoren von $A$ aus:
Der Vektor $\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ ist zugleich ein Normalenvektor der Ebene durch $A$, $B$ und $C$. Ihre Koordinatengleichung lautet $6x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6$ – setze zur Probe die drei Punkte ein.
Spatprodukt und Volumen
Drei Vektoren spannen einen Spat auf (einen „schiefen Quader“). Sein Volumen ist der Betrag des Spatprodukts:
Beispiel
$\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}$, also $V = |0 + 0 + 24| = 24$. Die dreiseitige Pyramide aus denselben Vektoren hat das Volumen $\frac{24}{6} = 4$.
Typische Fehler
- Vorzeichen in der mittleren Zeile: Sie lautet $a_3 b_1 - a_1 b_3$ – nicht $a_1 b_3 - a_3 b_1$.
- Minus mal Minus: $(-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1) = 0 + 2 = 2$.
- Immer die Probe mit dem Skalarprodukt machen – ist sie nicht 0, steckt ein Rechenfehler drin.
Der Vektorrechner berechnet das Kreuzprodukt mit allen Zwischenschritten und dem Flächeninhalt.
Online üben
Stufe 1: Kreuzprodukt berechnen
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Aufgabe 1
\((-2 \mid 4 \mid -1) \times (1 \mid -3 \mid -5)\)\((-2 \mid 4 \mid -1) \times (1 \mid -3 \mid -5) = (-23 \mid -11 \mid 2)\)
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Aufgabe 2
\((-2 \mid -1 \mid -3) \times (5 \mid 0 \mid 2)\)\((-2 \mid -1 \mid -3) \times (5 \mid 0 \mid 2) = (-2 \mid -11 \mid 5)\)
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Aufgabe 3
\((-5 \mid -2 \mid 2) \times (-1 \mid -4 \mid 1)\)\((-5 \mid -2 \mid 2) \times (-1 \mid -4 \mid 1) = (6 \mid 3 \mid 18)\)
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Aufgabe 4
\((-5 \mid 3 \mid 1) \times (2 \mid -1 \mid -4)\)\((-5 \mid 3 \mid 1) \times (2 \mid -1 \mid -4) = (-11 \mid -18 \mid -1)\)
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Aufgabe 5
\((2 \mid 1 \mid 2) \times (1 \mid -2 \mid -3)\)\((2 \mid 1 \mid 2) \times (1 \mid -2 \mid -3) = (1 \mid 8 \mid -5)\)
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Aufgabe 6
\((1 \mid 3 \mid 1) \times (-2 \mid 0 \mid 0)\)\((1 \mid 3 \mid 1) \times (-2 \mid 0 \mid 0) = (0 \mid -2 \mid 6)\)
Arbeitsblatt: Kreuzprodukt und Flächeninhalt
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Weiterlesen: Kreuzprodukt bei Wikipedia