Kreis
Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt $M$ gleich weit entfernt sind. Dieser Abstand heißt Radius $r$. Mit nur einer Zahl – dem Radius – kannst Du Umfang und Fläche jedes Kreises berechnen.
Radius und Durchmesser
Der Durchmesser $d$ ist die längste Strecke quer durch den Kreis – sie geht durch den Mittelpunkt und ist doppelt so lang wie der Radius:
Die Kreiszahl π
Miss bei einer Dose, einem Teller oder einer Münze den Umfang und teile ihn durch den Durchmesser. Du erhältst immer ungefähr 3,14 – egal wie groß der Kreis ist. Diese besondere Zahl heißt Pi und wird $\pi$ geschrieben:
Merke
$\pi$ hat unendlich viele Nachkommastellen ohne Muster. Zum Rechnen nimmst Du die $\pi$-Taste des Taschenrechners oder näherungsweise $\pi \approx 3{,}14$.
Umfang des Kreises
Weil $U : d = \pi$ ist, gilt umgekehrt $U = \pi \cdot d$. Mit $d = 2r$ erhältst Du:
Beispiel
Ein Kreis hat den Radius $r = 5\,\text{cm}$:
Rückwärts: Ein Baumstamm hat den Umfang $U = 50\,\text{cm}$. Wie groß ist der Radius?
Flächeninhalt des Kreises
Schneide einen Kreis in viele schmale Tortenstücke und lege sie abwechselnd nebeneinander. Es entsteht fast ein Rechteck: Es ist so hoch wie der Radius $r$ und so lang wie der halbe Umfang $\pi \cdot r$. Je mehr Stücke, desto genauer. Seine Fläche ist $\pi r \cdot r$:
Beispiel
Eine Pizza hat den Radius $r = 15\,\text{cm}$:
Rückwärts: Ein Kreis hat die Fläche $A = 100\,\text{cm}^2$. Dann ist
Typische Fehler
- Durchmesser statt Radius eingesetzt: Ist $d = 10\,\text{cm}$ gegeben, rechnest Du mit $r = 5\,\text{cm}$!
- $r^2$ mit $2r$ verwechselt: Bei $r = 3$ ist $r^2 = 9$, nicht 6.
- Erst quadrieren, dann mit π malnehmen: $\pi \cdot 3^2 = \pi \cdot 9$, nicht $(\pi \cdot 3)^2$.
Tipp: doppelter Radius
Verdoppelst Du den Radius, wird der Umfang doppelt so groß – die Fläche aber viermal so groß. Eine Pizza mit 30 cm Durchmesser hat also so viel Fläche wie vier Pizzen mit 15 cm.
Kreisbogen und Kreisausschnitt
Ein Kreisausschnitt (Sektor) ist ein „Tortenstück“ mit dem Mittelpunktswinkel $\alpha$. Er ist der Anteil $\frac{\alpha}{360^\circ}$ vom ganzen Kreis. Der Kreisbogen $b$ ist der zugehörige Teil des Umfangs:
Beispiel
$r = 6\,\text{cm}$ und $\alpha = 60^\circ$. Der Ausschnitt ist $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ des Kreises:
Kreisring
Ein Kreisring entsteht, wenn Du aus einem großen Kreis (Radius $R$) einen kleinen Kreis (Radius $r$) mit demselben Mittelpunkt herausschneidest – wie bei einer Unterlegscheibe:
Beispiel
$R = 5\,\text{cm}$, $r = 3\,\text{cm}$: $A = \pi \cdot (25 - 9)\,\text{cm}^2 = 16\pi\,\text{cm}^2 \approx 50{,}27\,\text{cm}^2$.
Alle Kreisformeln
| Größe | Formel | umgestellt |
|---|---|---|
| Durchmesser | $d = 2r$ | $r = \frac{d}{2}$ |
| Umfang | $U = 2\pi r$ | $r = \frac{U}{2\pi}$ |
| Flächeninhalt | $A = \pi r^2$ | $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ |
| Kreisbogen | $b = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$ | $\alpha = \frac{b \cdot 360^\circ}{2\pi r}$ |
| Kreisausschnitt | $A_S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$ | $\alpha = \frac{A_S \cdot 360^\circ}{\pi r^2}$ |
Mit dem Kreisrechner berechnest Du aus einer beliebigen Angabe alle anderen Größen – zum Beispiel den Radius aus U = 50 cm.
Online üben
Stufe 1: exakt mit π, Stufe 2: gerundet, Stufe 3: Radius rückwärts berechnen.
Stufe 1: exakt mit Pi
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Aufgabe 1
\(d = 8\,\text{cm}:\ U\)\(d = 8\,\text{cm}:\ U = 8\pi\,\text{cm}\)
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Aufgabe 2
\(r = 14\,\text{cm}:\ A\)\(r = 14\,\text{cm}:\ A = 196\pi\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 3
\(d = 12\,\text{cm}:\ U\)\(d = 12\,\text{cm}:\ U = 12\pi\,\text{cm}\)
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Aufgabe 4
\(d = 28\,\text{cm}:\ U\)\(d = 28\,\text{cm}:\ U = 28\pi\,\text{cm}\)
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Aufgabe 5
\(d = 20\,\text{cm}:\ U\)\(d = 20\,\text{cm}:\ U = 20\pi\,\text{cm}\)
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Aufgabe 6
\(r = 5\,\text{cm}:\ U\)\(r = 5\,\text{cm}:\ U = 10\pi\,\text{cm}\)
Arbeitsblatt: Kreis: Umfang und Flächeninhalt
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Weiterlesen: Kreis bei Wikipedia