Ableitungsregeln
Mit wenigen Regeln kannst Du fast jede Funktion ableiten. Die ersten vier brauchst Du für alle Polynome, die letzten drei für Produkte, Brüche und verkettete Funktionen.
| Regel | Funktion | Ableitung |
|---|---|---|
| Konstantenregel | $f(x) = c$ | $f'(x) = 0$ |
| Potenzregel | $f(x) = x^n$ | $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ |
| Faktorregel | $f(x) = c \cdot g(x)$ | $f'(x) = c \cdot g'(x)$ |
| Summenregel | $f(x) = g(x) + h(x)$ | $f'(x) = g'(x) + h'(x)$ |
| Produktregel | $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ | $f'(x) = u' v + u v'$ |
| Quotientenregel | $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ | $f'(x) = \frac{u' v - u v'}{v^2}$ |
| Kettenregel | $f(x) = u(v(x))$ | $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$ |
Konstantenregel
Eine konstante Funktion wie $f(x) = 5$ ist eine waagerechte Gerade – ihre Steigung ist überall 0: $f'(x) = 0$.
Potenzregel
Merke
Der Exponent wandert als Faktor nach vorne, der neue Exponent ist um 1 kleiner.
Beispiele
Tipp
Die Potenzregel gilt für jeden Exponenten – auch negative und Brüche. Schreibe Brüche und Wurzeln deshalb vor dem Ableiten als Potenz: $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$ und $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
Faktorregel
Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten einfach stehen:
Summenregel
Eine Summe (oder Differenz) leitest Du Summand für Summand ab. Zusammen mit den ersten drei Regeln kannst Du damit jedes Polynom ableiten:
Typischer Fehler
Die Zahl ohne $x$ (hier $-7$) fällt beim Ableiten weg – sie bleibt nicht stehen. Und aus $4x$ wird $4$, nicht $4x^0 \cdot 0$.
Produktregel
Bei einem Produkt zweier Funktionen gilt: Ableitung des ersten Faktors mal zweiter Faktor plus erster Faktor mal Ableitung des zweiten.
Beispiel
$f(x) = x^2 \cdot \sin(x)$ mit $u = x^2$, $u' = 2x$, $v = \sin(x)$, $v' = \cos(x)$:
Typischer Fehler
Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen: $(x^2 \cdot \sin x)' \neq 2x \cdot \cos x$.
Quotientenregel
Merkhilfe: „NAZ minus ZAN durch N-Quadrat“ – Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, geteilt durch den Nenner zum Quadrat.
Beispiel
$f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ mit $u = 2x + 1$, $u' = 2$, $v = x - 3$, $v' = 1$:
Kettenregel
Steckt eine Funktion in einer anderen – z. B. $(3x + 1)^4$ oder $e^{2x}$ –, spricht man von einer Verkettung. Dann gilt: äußere Ableitung (mit unveränderter innerer Funktion) mal innere Ableitung.
Beispiele
Typischer Fehler
Die innere Ableitung wird gerne vergessen: $\left(e^{3x}\right)' = 3e^{3x}$, nicht $e^{3x}$.
Die wichtigsten Ableitungen
| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|---|---|
| $c$ | $0$ | $\sin(x)$ | $\cos(x)$ |
| $x^n$ | $n x^{n-1}$ | $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $\tan(x)$ | $\frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | $a^x$ | $\ln(a) \cdot a^x$ |
| $\log_a(x)$ | $\frac{1}{x \cdot \ln(a)}$ | $e^{kx}$ | $k \cdot e^{kx}$ |
Online üben
Wähle oben die Stufe: Stufe 1 übt Potenz-, Faktor- und Summenregel, Stufe 2 Brüche und Wurzeln, Stufe 3 Produkt- und Kettenregel.
Stufe 3: Produkt- und Kettenregel
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Aufgabe 1
\(f(x) = -5e^{-x}\)\(f'(x) = 5e^{-x}\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = x\cos(x)\)\(f'(x) = \cos(x) - x\sin(x)\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = e^{x^{2}}\)\(f'(x) = 2x\,e^{x^{2}}\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = \sqrt{2x + 1}\)\(f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x + 1}}\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = \sqrt{x + 8}\)\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 8}}\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = (x^{2} + 5)^{4}\)\(f'(x) = 8x(x^{2} + 5)^{3}\)
Arbeitsblatt: Ableitungen bilden
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Weiterlesen: Ableitungsregel bei Wikipedia