Kurvendiskussion-Rechner
Gib eine ganzrationale Funktion (ein Polynom) ein – der Rechner führt die komplette Kurvendiskussion durch: Ableitungen, Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte, Monotonie, Krümmung und Verhalten im Unendlichen. Auf Wunsch berechnet er auch die Tangente.
Ergebnis
Kurvendiskussion von $f(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 2x^{2}$:
| Nullstellen | \(-2\sqrt{2}\), \(0\) (doppelt), \(2\sqrt{2}\) |
|---|---|
| Hochpunkte | \(H\left(0 \,\middle|\, 0\right)\) |
| Tiefpunkte | \(T\left(-2 \,\middle|\, -4\right)\), \(T\left(2 \,\middle|\, -4\right)\) |
| Wendepunkte | \(W\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3} \,\middle|\, -\frac{20}{9}\right)\), \(W\left(\frac{2\sqrt{3}}{3} \,\middle|\, -\frac{20}{9}\right)\) |
| y-Achsenabschnitt | \(S_y(0 \mid 0)\) |
Rechenweg
Ableitungen bilden
Mit der Potenz-, Faktor- und Summenregel leitest Du jeden Summanden einzeln ab: aus a·xⁿ wird a·n·xⁿ⁻¹.
\[f(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 2x^{2}\]\[f'(x) = x^{3} - 4x\]\[f''(x) = 3x^{2} - 4\]\[f'''(x) = 6x\]Definitionsbereich und Symmetrie
Ganzrationale Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert. Alle Exponenten sind gerade (eine Zahl ohne x zählt als x⁰). Damit gilt f(−x) = f(x): Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
\[D = \mathbb{R}\]Schnittpunkt mit der y-Achse
Setze x = 0 ein. Übrig bleibt das absolute Glied.
\[f(0) = 0 \quad\Rightarrow\quad S_y\left(0 \,\middle|\, 0\right)\]Nullstellen
Setze f(x) = 0. Es gibt kein absolutes Glied – klammere x^2 aus. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist (Satz vom Nullprodukt). Den quadratischen Rest löst Du mit der abc-Formel (Mitternachtsformel). Entscheidend ist die Diskriminante D = b² − 4ac.
\[f(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{4}x^{4} - 2x^{2} = 0\]\[x^{2} \cdot \left(\frac{1}{4}x^{2} - 2\right) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0 \ \text{(2-fach)}\]\[\frac{1}{4}x^{2} - 2 = 0: \quad D = 0^{2} - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(-2\right) = 2\]\[x_{1,2} = \frac{\pm \sqrt{2}}{2 \cdot \frac{1}{4}}\]\[x_{1} = -2\sqrt{2},\quad x_{2} = 0\ \text{(doppelt)},\quad x_{3} = 2\sqrt{2}\]Extrempunkte
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0. Hinreichende Bedingung: f''(x) ≠ 0 – ist f''(x) < 0, liegt ein Hochpunkt vor, ist f''(x) > 0, ein Tiefpunkt.
\[f'(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{3} - 4x = 0\]\[x \cdot \left(x^{2} - 4\right) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0\]\[x^{2} - 4 = 0: \quad D = 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(-4\right) = 16\]\[x_{1,2} = \frac{\pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}\]\[x_{1} = -2,\quad x_{2} = 0,\quad x_{3} = 2\]\[f''(-2) = 8 > 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Tiefpunkt}\]\[f(-2) = -4\]\[f''(0) = -4 < 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Hochpunkt}\]\[f(0) = 0\]\[f''(2) = 8 > 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Tiefpunkt}\]\[f(2) = -4\]Wendepunkte
Notwendige Bedingung: f''(x) = 0. Hinreichende Bedingung: f'''(x) ≠ 0. Ist an einem Wendepunkt zusätzlich f'(x) = 0, ist er ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt).
\[f''(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad 3x^{2} - 4 = 0\]\[3x^{2} - 4 = 0: \quad D = 0^{2} - 4 \cdot 3 \cdot \left(-4\right) = 48\]\[x_{1,2} = \frac{\pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}\]\[x_{1} = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad x_{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]\[f'''(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = -4\sqrt{3} \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = -\frac{20}{9}\]\[f'''(\frac{2\sqrt{3}}{3}) = 4\sqrt{3} \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(\frac{2\sqrt{3}}{3}) = -\frac{20}{9}\]Monotonie
Zwischen den Nullstellen von f' ändert f' sein Vorzeichen nicht. Wo f'(x) > 0 ist, steigt der Graph, wo f'(x) < 0 ist, fällt er.
Intervall Vorzeichen Verhalten \((-\infty;\ -2)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend \((-2;\ 0)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend \((0;\ 2)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend \((2;\ \infty)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend Krümmung
Wo f''(x) > 0 ist, ist der Graph linksgekrümmt (wie ein lachender Mund), wo f''(x) < 0 ist, rechtsgekrümmt.
Intervall Vorzeichen Verhalten \((-\infty;\ -1{,}155)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt \((-1{,}155;\ 1{,}155)\) \(f''(x) < 0\) rechtsgekrümmt \((1{,}155;\ \infty)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt Verhalten im Unendlichen
Für sehr große |x| bestimmt der Summand mit der höchsten Potenz (1/4x^4) den Verlauf: Grad 4 ist gerade, der Leitkoeffizient ist positiv.
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\]
Graph
N = Nullstelle, H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, S = Sattelpunkt.
So funktioniert der Rechner
Der Rechner arbeitet wie Du im Heft – und zwar exakt mit Brüchen und Wurzeln. Nullstellen findet er durch Ausklammern, durch Probieren mit Polynomdivision und mit der abc-Formel. Nur wenn es keine „schöne“ Lösung gibt, rechnet er mit einem Näherungsverfahren und kennzeichnet die Werte mit ≈.
- Eingabe:
x^3für x³, Brüche mit/wie1/4x^4, Klammern dürfen vorkommen:(x-2)^2(x+1). - Nur Polynome: Funktionen mit ex, sin oder ln kann dieser Rechner nicht untersuchen. Ableiten kannst Du sie mit dem Ableitungsrechner, zeichnen mit dem Funktionsplotter.
Alle Schritte im Detail erklärt findest Du unter Kurvendiskussion.