Kurvendiskussion-Rechner

Gib eine ganzrationale Funktion (ein Polynom) ein – der Rechner führt die komplette Kurvendiskussion durch: Ableitungen, Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte, Monotonie, Krümmung und Verhalten im Unendlichen. Auf Wunsch berechnet er auch die Tangente.

Werte mit ≈ sind auf drei Nachkommastellen gerundet.

Rechenweg

1. Ableitungen bilden

   Mit der Potenz-, Faktor- und Summenregel leitest Du jeden Summanden einzeln ab: aus a·xⁿ wird a·n·xⁿ⁻¹.

   \[f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 5\]

   \[f'(x) = 6x^{2} - 6x - 12\]

   \[f''(x) = 12x - 6\]

   \[f'''(x) = 12\]

2. Definitionsbereich und Symmetrie

   Ganzrationale Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert. Es kommen gerade und ungerade Exponenten vor. Der Graph ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

   \[D = \mathbb{R}\]

3. Schnittpunkt mit der y-Achse

   Setze x = 0 ein. Übrig bleibt das absolute Glied.

   \[f(0) = 5 \quad\Rightarrow\quad S_y\left(0 \,\middle|\, 5\right)\]

4. Nullstellen

   Setze f(x) = 0. Für den verbleibenden Teil gibt es keine „schöne“ (rationale) Nullstelle. Die Nullstellen werden mit einem Näherungsverfahren (Intervallhalbierung) bestimmt.

   \[f(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 5 = 0\]

   \[x_{1} \approx -2{,}0406,\quad x_{2} \approx 0{,}3887,\quad x_{3} \approx 3{,}1519\]

5. Extrempunkte

   Notwendige Bedingung: f'(x) = 0. Hinreichende Bedingung: f''(x) ≠ 0 – ist f''(x) < 0, liegt ein Hochpunkt vor, ist f''(x) > 0, ein Tiefpunkt.

   \[f'(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad 6x^{2} - 6x - 12 = 0\]

   \[6x^{2} - 6x - 12 = 0: \quad D = \left(-6\right)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot \left(-12\right) = 324\]

   \[x_{1,2} = \frac{-\left(-6\right) \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 6}\]

   \[x_{1} = -1,\quad x_{2} = 2\]

   \[f''(-1) = -18 < 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Hochpunkt}\]

   \[f(-1) = 12\]

   \[f''(2) = 18 > 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Tiefpunkt}\]

   \[f(2) = -15\]

6. Wendepunkte

   Notwendige Bedingung: f''(x) = 0. Hinreichende Bedingung: f'''(x) ≠ 0. Ist an einem Wendepunkt zusätzlich f'(x) = 0, ist er ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt).

   \[f''(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad 12x - 6 = 0\]

   \[12x - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{2}\]

   \[x_0 = \frac{1}{2}\]

   \[f'''(\frac{1}{2}) = 12 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]

   \[f(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}\]

7. Monotonie

   Zwischen den Nullstellen von f' ändert f' sein Vorzeichen nicht. Wo f'(x) > 0 ist, steigt der Graph, wo f'(x) < 0 ist, fällt er.

   Intervall	Vorzeichen	Verhalten
   \((-\infty;\ -1)\)	\(f'(x) > 0\)	streng monoton steigend
   \((-1;\ 2)\)	\(f'(x) < 0\)	streng monoton fallend
   \((2;\ \infty)\)	\(f'(x) > 0\)	streng monoton steigend

8. Krümmung

   Wo f''(x) > 0 ist, ist der Graph linksgekrümmt (wie ein lachender Mund), wo f''(x) < 0 ist, rechtsgekrümmt.

   Intervall	Vorzeichen	Verhalten
   \((-\infty;\ 0{,}5)\)	\(f''(x) < 0\)	rechtsgekrümmt
   \((0{,}5;\ \infty)\)	\(f''(x) > 0\)	linksgekrümmt

9. Verhalten im Unendlichen

   Für sehr große |x| bestimmt der Summand mit der höchsten Potenz (2x^3) den Verlauf: Grad 3 ist ungerade, der Leitkoeffizient ist positiv.

   \[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\]

Graph

N = Nullstelle, H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, S = Sattelpunkt.

So funktioniert der Rechner

Der Rechner arbeitet wie Du im Heft – und zwar exakt mit Brüchen und Wurzeln. Nullstellen findet er durch Ausklammern, durch Probieren mit Polynomdivision und mit der abc-Formel. Nur wenn es keine „schöne“ Lösung gibt, rechnet er mit einem Näherungsverfahren und kennzeichnet die Werte mit ≈.

• Eingabe: x^3 für x³, Brüche mit / wie 1/4x^4, Klammern dürfen vorkommen: (x-2)^2(x+1).
• Nur Polynome: Funktionen mit e^x, sin oder ln kann dieser Rechner nicht untersuchen. Ableiten kannst Du sie mit dem Ableitungsrechner, zeichnen mit dem Funktionsplotter.

Alle Schritte im Detail erklärt findest Du unter Kurvendiskussion.

Passt dazu