Kurvendiskussion-Rechner
Gib eine ganzrationale Funktion (ein Polynom) ein – der Rechner führt die komplette Kurvendiskussion durch: Ableitungen, Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte, Monotonie, Krümmung und Verhalten im Unendlichen. Auf Wunsch berechnet er auch die Tangente.
Ergebnis
Kurvendiskussion von $f(x) = x^{2} - 2x - 2$:
| Nullstellen | \(1 - \sqrt{3}\), \(1 + \sqrt{3}\) |
|---|---|
| Hochpunkte | keine |
| Tiefpunkte | \(T\left(1 \,\middle|\, -3\right)\) |
| Wendepunkte | keine |
| y-Achsenabschnitt | \(S_y(0 \mid -2)\) |
Rechenweg
Ableitungen bilden
Mit der Potenz-, Faktor- und Summenregel leitest Du jeden Summanden einzeln ab: aus a·xⁿ wird a·n·xⁿ⁻¹.
\[f(x) = x^{2} - 2x - 2\]\[f'(x) = 2x - 2\]\[f''(x) = 2\]\[f'''(x) = 0\]Definitionsbereich und Symmetrie
Ganzrationale Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert. Es kommen gerade und ungerade Exponenten vor. Der Graph ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
\[D = \mathbb{R}\]Schnittpunkt mit der y-Achse
Setze x = 0 ein. Übrig bleibt das absolute Glied.
\[f(0) = -2 \quad\Rightarrow\quad S_y\left(0 \,\middle|\, -2\right)\]Nullstellen
Setze f(x) = 0. Den quadratischen Rest löst Du mit der abc-Formel (Mitternachtsformel). Entscheidend ist die Diskriminante D = b² − 4ac.
\[f(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{2} - 2x - 2 = 0\]\[x^{2} - 2x - 2 = 0: \quad D = \left(-2\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(-2\right) = 12\]\[x_{1,2} = \frac{-\left(-2\right) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}\]\[x_{1} = 1 - \sqrt{3},\quad x_{2} = 1 + \sqrt{3}\]Extrempunkte
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0. Hinreichende Bedingung: f''(x) ≠ 0 – ist f''(x) < 0, liegt ein Hochpunkt vor, ist f''(x) > 0, ein Tiefpunkt.
\[f'(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad 2x - 2 = 0\]\[2x - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1\]\[x_0 = 1\]\[f''(1) = 2 > 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Tiefpunkt}\]\[f(1) = -3\]Wendepunkte
Die zweite Ableitung ist konstant und ungleich 0 – der Graph hat keine Wendepunkte, seine Krümmung ändert sich nie.
Monotonie
Zwischen den Nullstellen von f' ändert f' sein Vorzeichen nicht. Wo f'(x) > 0 ist, steigt der Graph, wo f'(x) < 0 ist, fällt er.
Intervall Vorzeichen Verhalten \((-\infty;\ 1)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend \((1;\ \infty)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend Krümmung
Wo f''(x) > 0 ist, ist der Graph linksgekrümmt (wie ein lachender Mund), wo f''(x) < 0 ist, rechtsgekrümmt.
Intervall Vorzeichen Verhalten \((-\infty;\ \infty)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt Verhalten im Unendlichen
Für sehr große |x| bestimmt der Summand mit der höchsten Potenz (x^2) den Verlauf: Grad 2 ist gerade, der Leitkoeffizient ist positiv.
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\]Tangente an der Stelle x₀ = 3
Die Tangente berührt den Graphen im Punkt P(x₀ | f(x₀)) und hat dort die Steigung f'(x₀). Ihre Gleichung lautet t(x) = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀).
\[f(3) = 3^{2} - 2 \cdot 3 - 2 = 1\]\[f'(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 4\]\[t(x) = 4 \cdot \left(x - 3\right) + 1 = 4x - 11\]
Graph
N = Nullstelle, H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, S = Sattelpunkt, t = Tangente.
So funktioniert der Rechner
Der Rechner arbeitet wie Du im Heft – und zwar exakt mit Brüchen und Wurzeln. Nullstellen findet er durch Ausklammern, durch Probieren mit Polynomdivision und mit der abc-Formel. Nur wenn es keine „schöne“ Lösung gibt, rechnet er mit einem Näherungsverfahren und kennzeichnet die Werte mit ≈.
- Eingabe:
x^3für x³, Brüche mit/wie1/4x^4, Klammern dürfen vorkommen:(x-2)^2(x+1). - Nur Polynome: Funktionen mit ex, sin oder ln kann dieser Rechner nicht untersuchen. Ableiten kannst Du sie mit dem Ableitungsrechner, zeichnen mit dem Funktionsplotter.
Alle Schritte im Detail erklärt findest Du unter Kurvendiskussion.