Kurvendiskussion
Bei einer Kurvendiskussion untersuchst Du eine Funktion so gründlich, dass Du ihren Graphen ohne Wertetabelle skizzieren kannst. Du gehst dabei immer nach demselben Schema vor – hier Schritt für Schritt am Beispiel
Das Schema
- Ableitungen bilden
- Definitionsbereich und Symmetrie
- Schnittpunkte mit den Achsen (y-Achse, Nullstellen)
- Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte)
- Wendepunkte
- Verhalten im Unendlichen
- Graph skizzieren
1. Ableitungen bilden
Mit den Ableitungsregeln bildest Du die ersten drei Ableitungen:
2. Definitionsbereich und Symmetrie
Ganzrationale Funktionen (Polynome) sind für alle reellen Zahlen definiert: $D = \mathbb{R}$.
- Kommen nur gerade Exponenten vor (die Zahl ohne $x$ zählt als $x^0$), ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse: $f(-x) = f(x)$.
- Kommen nur ungerade Exponenten vor, ist er punktsymmetrisch zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$.
In unserem Beispiel gibt es gerade ($x^2$) und ungerade Exponenten ($x^3$, $x$) – also keine dieser Symmetrien.
3. Schnittpunkte mit den Achsen
y-Achse: $f(0) = 0$, also $S_y(0 \mid 0)$.
Nullstellen: Setze $f(x) = 0$. Da kein absolutes Glied vorhanden ist, kannst Du $x$ ausklammern:
Tipp
An einer doppelten Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse nicht, sondern berührt sie nur – dort liegt immer auch ein Extrempunkt.
4. Extrempunkte
Notwendige Bedingung: An Hoch- und Tiefpunkten ist die Tangente waagerecht, also $f'(x) = 0$:
Hinreichende Bedingung: Setze die Stellen in $f''$ ein. Ist $f''(x) < 0$, ist der Graph dort rechtsgekrümmt – ein Hochpunkt. Ist $f''(x) > 0$, liegt ein Tiefpunkt vor.
Achtung
Ist $f''(x_E) = 0$, sagt die zweite Ableitung nichts aus. Dann prüfst Du, ob $f'$ an dieser Stelle das Vorzeichen wechselt (Vorzeichenwechsel-Kriterium). Ohne Vorzeichenwechsel liegt ein Sattelpunkt vor – z. B. bei $f(x) = x^3$ im Ursprung.
5. Wendepunkte
An einem Wendepunkt wechselt der Graph von einer Links- in eine Rechtskurve (oder umgekehrt). Notwendig: $f''(x) = 0$, hinreichend: zusätzlich $f'''(x) \neq 0$.
6. Verhalten im Unendlichen
Für sehr große $|x|$ bestimmt der Summand mit der höchsten Potenz den Verlauf. Bei $x^3$ (ungerader Grad, positiver Faktor) gilt:
7. Graph
Monotonie und Krümmung
Aus den Extrem- und Wendepunkten kannst Du auch ablesen, wo der Graph steigt oder fällt und wie er gekrümmt ist:
| Intervall | Verlauf | Intervall | Krümmung |
|---|---|---|---|
| $x < 1$ | steigend ($f' > 0$) | $x < 2$ | rechtsgekrümmt ($f'' < 0$) |
| $1 < x < 3$ | fallend ($f' < 0$) | $x > 2$ | linksgekrümmt ($f'' > 0$) |
| $x > 3$ | steigend ($f' > 0$) |
Online üben: Extrempunkte
Stufe 3: Funktionen 4. Grades (symmetrisch)
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Aufgabe 1
\(f(x) = x^{4} - 2x^{2}\)\(T_1\left(-1 \,\middle|\, -1\right),\quad H\left(0 \,\middle|\, 0\right),\quad T_2\left(1 \,\middle|\, -1\right)\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = 2x^{4} - 4x^{2} - 4\)\(T_1\left(-1 \,\middle|\, -6\right),\quad H\left(0 \,\middle|\, -4\right),\quad T_2\left(1 \,\middle|\, -6\right)\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = 2x^{4} - 16x^{2} + 5\)\(T_1\left(-2 \,\middle|\, -27\right),\quad H\left(0 \,\middle|\, 5\right),\quad T_2\left(2 \,\middle|\, -27\right)\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = 2x^{4} - 16x^{2} + 6\)\(T_1\left(-2 \,\middle|\, -26\right),\quad H\left(0 \,\middle|\, 6\right),\quad T_2\left(2 \,\middle|\, -26\right)\)
Arbeitsblatt: Extrempunkte bestimmen
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Eigene Funktion untersuchen? Der Kurvendiskussion-Rechner macht die komplette Kurvendiskussion mit Rechenweg und Graph.
Weiterlesen: Kurvendiskussion bei Wikipedia