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Kl. 6

Brüche multiplizieren und dividieren

Malnehmen und Teilen ist bei Brüchen sogar einfacher als Plus und Minus: Du musst die Brüche nicht gleichnamig machen.

Brüche multiplizieren

Merke

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\]

Beispiel

\[\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}\]

Anschaulich: $\frac{2}{3}$ von $\frac{4}{5}$. „Von“ bedeutet in der Bruchrechnung immer „mal“.

Vor dem Ausmultiplizieren kürzen

Große Zahlen vermeidest Du, wenn Du vorher kürzt – auch „über Kreuz“: ein Zähler mit dem anderen Nenner.

\[\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{\overset{1}{\cancel{4}} \cdot \overset{1}{\cancel{3}}}{\underset{3}{\cancel{9}} \cdot \underset{2}{\cancel{8}}} = \frac{1}{6}\]

Hier wurde 4 und 8 durch 4 gekürzt und 3 und 9 durch 3.

Bruch mal ganze Zahl

Eine ganze Zahl ist ein Bruch mit dem Nenner 1. Du nimmst also nur den Zähler mal:

\[\frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{3 \cdot 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1\tfrac{1}{2}\]

Brüche dividieren

Merke

Man teilt durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert malnimmt. Den Kehrwert erhältst Du, indem Du Zähler und Nenner vertauschst.

\[\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\]

Beispiel

\[\frac{3}{4} : \frac{5}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 5} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} = 1\tfrac{1}{5}\]

Warum funktioniert das? Wie oft passt $\frac{1}{2}$ in 3? Sechsmal – denn in jedes Ganze passen zwei Hälften. Und tatsächlich: $3 : \frac{1}{2} = 3 \cdot 2 = 6$.

Bruch durch ganze Zahl

\[\frac{6}{7} : 3 = \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}\]

Gemischte Zahlen

Achtung

Gemischte Zahlen musst Du vor dem Multiplizieren und Dividieren immer in unechte Brüche umwandeln. $2\tfrac{1}{2} \cdot 2\tfrac{1}{2}$ ist nicht $4\tfrac{1}{4}$!

\[2\tfrac{1}{2} \cdot 2\tfrac{1}{2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4} = 6\tfrac{1}{4}\]

Doppelbrüche

Ein Bruch, in dem oben und unten wieder ein Bruch steht, ist einfach eine Division:

\[\frac{\;\frac{2}{3}\;}{\;\frac{4}{9}\;} = \frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}\]
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Stufe 1: Multiplizieren

  1. Aufgabe 1
    \(\frac{2}{4} \cdot \frac{8}{9}\)
    \(\frac{2}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{4}{9}\)
  2. Aufgabe 2
    \(\frac{7}{10} \cdot \frac{2}{4}\)
    \(\frac{7}{10} \cdot \frac{2}{4} = \frac{7}{20}\)
  3. Aufgabe 3
    \(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}\)
    \(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}\)
  4. Aufgabe 4
    \(\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{10}\)
    \(\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{10} = \frac{2}{5}\)
  5. Aufgabe 5
    \(\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{4}\)
    \(\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{40}\)
  6. Aufgabe 6
    \(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\)
    \(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)

Arbeitsblatt: Brüche multiplizieren und dividieren

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