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Funktionen

Eine Funktion beschreibt, wie eine Größe von einer anderen abhängt: der Preis von der Menge, die Strecke von der Zeit, die Fläche eines Quadrats von seiner Seitenlänge. In der Mathematik schreibt man das kurz als $f(x) = \ldots$

Was ist eine Funktion?

Merke

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem $x$-Wert genau einen $y$-Wert zuordnet.

\[f\colon\ x \mapsto y \qquad\text{oder}\qquad y = f(x)\]

Man liest $f(x)$ als „f von x“. $x$ heißt Argument oder Eingabewert, $f(x)$ der Funktionswert.

Beispiel: Eis kaufen

Eine Kugel Eis kostet 1,50 €. Der Preis hängt von der Anzahl $x$ der Kugeln ab: $f(x) = 1{,}5x$. Für 3 Kugeln zahlst Du $f(3) = 1{,}5 \cdot 3 = 4{,}50$ €. Zu jeder Anzahl gehört genau ein Preis – das ist eine Funktion.

Funktionswerte berechnen

Um $f(x)$ für eine bestimmte Zahl auszurechnen, setzt Du die Zahl überall für $x$ ein. Negative Zahlen setzt Du in Klammern:

\[f(x) = x^2 - 2x \qquad f(-3) = (-3)^2 - 2 \cdot (-3) = 9 + 6 = 15\]

Wertetabelle und Graph

Berechnest Du mehrere Funktionswerte, erhältst Du eine Wertetabelle. Jedes Paar $(x \mid y)$ ist ein Punkt im Koordinatensystem. Verbindest Du die Punkte, entsteht der Graph der Funktion.

$x$	−2	−1	0	1	2	3	4
$f(x) = x^2 - 2x - 3$	5	0	−3	−4	−3	0	5

Das Koordinatensystem

Die waagerechte Achse ist die x-Achse (Rechtsachse), die senkrechte die y-Achse (Hochachse). Sie schneiden sich im Ursprung $O(0 \mid 0)$. Ein Punkt $P(3 \mid 2)$ liegt 3 Einheiten rechts und 2 Einheiten oben. Zuerst kommt immer der x-Wert: „erst laufen, dann springen“.

Wichtige Begriffe

Nullstelle: eine Stelle $x_0$ mit $f(x_0) = 0$ – dort schneidet oder berührt der Graph die x-Achse.
y-Achsenabschnitt: der Funktionswert $f(0)$ – dort schneidet der Graph die y-Achse.
Definitionsmenge $\mathbb{D}$: alle $x$-Werte, die man einsetzen darf. Bei $f(x) = \frac{1}{x}$ ist $x = 0$ verboten.
Wertemenge $\mathbb{W}$: alle $y$-Werte, die herauskommen können. Bei $f(x) = x^2$ sind das nur Zahlen $\geq 0$.

Keine Funktion

Ein Kreis ist kein Funktionsgraph: Zu $x = 0$ gehören zwei Punkte (oben und unten). Test: Jede senkrechte Linie darf den Graphen höchstens einmal schneiden.

Die wichtigsten Funktionstypen

Lineare Funktion
$f(x) = mx + b$

Quadratische Funktion
$f(x) = ax^2 + bx + c$

Exponentialfunktion
$f(x) = a \cdot b^x$

Sinusfunktion
$f(x) = \sin(x)$

Jede Funktion kannst Du Dir mit dem Funktionsplotter zeichnen lassen – auch mehrere gleichzeitig.

Online üben: Funktionswerte

Stufe 1 Stufe 2 Neue Aufgaben

Stufe 2: quadratische Funktionen

Aufgabe 1
$f(x) = -x^{2} - x + 3:\quad f(0)$

$f(0) = 3$
Aufgabe 2
$f(x) = x^{2} - x - 4:\quad f(-2)$

$f(-2) = 2$
Aufgabe 3
$f(x) = -2x^{2} + 4x - 4:\quad f(-2)$

$f(-2) = -20$
Aufgabe 4
$f(x) = x^{2} + 6:\quad f(-2)$

$f(-2) = 10$
Aufgabe 5
$f(x) = -x^{2} + 6x + 7:\quad f(-5)$

$f(-5) = -48$
Aufgabe 6
$f(x) = x^{2} + x - 6:\quad f(-1)$

$f(-1) = -6$

Arbeitsblatt: Funktionswerte berechnen

Bis zu 16 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–9.

Erklärungen

ErklärungLineare Funktionen – Steigung und y-Achsenabschnitty = mx + b verstehen: Steigung, Steigungsdreieck, y-Achsenabschnitt, Nullstelle und Schnittpunkt zweier Geraden.Klasse 8–9 ErklärungQuadratische Funktionen – Parabeln verstehenNormalparabel, Scheitelpunktform, Normalform, Streckung und Verschiebung – und wie man Nullstellen findet.Klasse 9–10 ErklärungExponentialfunktionen und exponentielles WachstumWachstum und Zerfall mit f(x) = a · bˣ – Wachstumsfaktor, Prozent, Verdopplungs- und Halbwertszeit.Klasse 10 ErklärungSinus- und KosinusfunktionSinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis, Bogenmaß, Periode, Amplitude und Verschiebung.Klasse 10–11

Online-Rechner

RechnerGeradengleichung-Rechner mit RechenwegGeradengleichung aus zwei Punkten oder aus Punkt und Steigung – mit Nullstelle, Schnittpunkt und Graph.Klasse 8–9 RechnerScheitelpunkt-Rechner mit quadratischer ErgänzungAllgemeine Form in Scheitelpunktform umwandeln (und zurück) – mit quadratischer Ergänzung, Nullstellen und Graph.Klasse 9–10 RechnerFunktionsplotter online – Graphen zeichnenBis zu vier Funktionen gleichzeitig zeichnen, zoomen, verschieben – mit Wertetabelle.Klasse 7–13

Arbeitsblätter zum Ausdrucken

Arbeitsblatt	Klasse	PDF mit Lösungen
Lineare Funktionen	8, 9	Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3
Scheitelpunktform und Scheitelpunkt	9, 10	Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3
Funktionswerte berechnen	7, 8, 9	Stufe 1 Stufe 2

Weiterlesen: Funktion (Mathematik) bei Wikipedia