Lineare Funktionen
Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Ihre Funktionsgleichung hat die Form $f(x) = mx + b$. Mit nur zwei Zahlen – der Steigung $m$ und dem y-Achsenabschnitt $b$ – ist die Gerade vollständig beschrieben.
Die Gerade $f(x) = 2x + 1$: Sie schneidet die y-Achse bei 1. Gehst Du 1 nach rechts, geht es 2 nach oben.
Die Steigung $m$
Merke
Die Steigung $m$ sagt Dir, um wie viel der Graph steigt (oder fällt), wenn Du eine Einheit nach rechts gehst.
- $m > 0$: Die Gerade steigt.
- $m < 0$: Die Gerade fällt.
- $m = 0$: Die Gerade verläuft waagerecht: $f(x) = b$.
Je größer der Betrag von $m$, desto steiler ist die Gerade.
Das Steigungsdreieck
Mit einem Steigungsdreieck liest Du die Steigung am Graphen ab: Gehe von einem Punkt der Geraden ein Stück nach rechts ($\Delta x$) und dann senkrecht bis zur Geraden ($\Delta y$). Die Steigung ist der Quotient:
Bei $m = \frac{2}{3}$ gehst Du 3 nach rechts und 2 nach oben. Bei $m = -\frac{1}{2}$ gehst Du 2 nach rechts und 1 nach unten.
Der y-Achsenabschnitt $b$
$b$ ist der Funktionswert an der Stelle $x = 0$: $f(0) = m \cdot 0 + b = b$. Dort schneidet die Gerade die y-Achse, im Punkt $S_y(0 \mid b)$.
Ist $b = 0$, geht die Gerade durch den Ursprung: $f(x) = mx$. Das ist eine proportionale Funktion – zum Doppelten von $x$ gehört das Doppelte von $y$.
Gerade zeichnen
- Markiere den y-Achsenabschnitt $b$ auf der y-Achse.
- Zeichne von dort das Steigungsdreieck: $m$ als Bruch schreiben, Nenner nach rechts, Zähler nach oben (bei negativem Zähler nach unten).
- Verbinde die beiden Punkte mit dem Lineal und verlängere die Gerade.
Steigung aus zwei Punkten berechnen
Kennst Du zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2)$ der Geraden, berechnest Du die Steigung so:
Beispiel: Geradengleichung aufstellen
Gesucht ist die Gerade durch $P(1 \mid 3)$ und $Q(4 \mid 9)$.
1. Steigung: $m = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$
2. y-Achsenabschnitt: Setze $m$ und einen Punkt in $y = mx + b$ ein: $3 = 2 \cdot 1 + b \;\Rightarrow\; b = 1$
3. Ergebnis: $y = 2x + 1$. Probe mit $Q$: $2 \cdot 4 + 1 = 9$ ✓
Nullstelle berechnen
An der Nullstelle ist $f(x) = 0$. Du setzt den Funktionsterm gleich null und löst die lineare Gleichung:
Allgemein gilt $x_0 = -\dfrac{b}{m}$ (für $m \neq 0$).
Schnittpunkt zweier Geraden
Im Schnittpunkt haben beide Geraden denselben $y$-Wert. Du setzt die Funktionsterme gleich:
Beispiel
$g(x) = 2x + 1$ und $h(x) = -x + 7$:
Haben zwei Geraden dieselbe Steigung, sind sie parallel und schneiden sich nicht (außer sie sind identisch). Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn $m_1 \cdot m_2 = -1$ gilt, z. B. $m_1 = 2$ und $m_2 = -\frac{1}{2}$.
Typische Fehler
- Bei $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ oben und unten verschiedene Reihenfolgen nehmen – beide Male muss derselbe Punkt zuerst stehen.
- Beim Einsetzen negativer Koordinaten die Klammern vergessen: $4 - (-2) = 6$.
- $m$ und $b$ verwechseln: In $y = 3 - 2x$ ist $m = -2$ und $b = 3$.
Online üben
Stufe 1: Steigung aus zwei Punkten
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Aufgabe 1
\(P(0 \mid -2),\quad Q(3 \mid -11)\)\(m = -3\)
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Aufgabe 2
\(P(1 \mid -1),\quad Q(3 \mid 5)\)\(m = 3\)
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Aufgabe 3
\(P(-3 \mid -16),\quad Q(-1 \mid -8)\)\(m = 4\)
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Aufgabe 4
\(P(0 \mid -2),\quad Q(1 \mid 2)\)\(m = 4\)
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Aufgabe 5
\(P(-2 \mid -1),\quad Q(-1 \mid -1)\)\(m = 0\)
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Aufgabe 6
\(P(0 \mid -4),\quad Q(3 \mid -7)\)\(m = -1\)
Arbeitsblatt: Lineare Funktionen
Bis zu 14 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–9.
Der Geradengleichung-Rechner stellt die Gleichung aus zwei Punkten auf, berechnet Nullstelle und Schnittpunkt und zeichnet die Gerade. Zwei Geraden mit zwei Unbekannten führen auch zu linearen Gleichungssystemen.
Weiterlesen: Lineare Funktion bei Wikipedia