Quadratische Funktionen
Bei einer quadratischen Funktion kommt $x$ im Quadrat vor: $f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a \neq 0$. Ihr Graph ist eine Parabel – eine U-förmige Kurve, wie die Flugbahn eines geworfenen Balls.
Die Normalparabel
Die einfachste quadratische Funktion ist $f(x) = x^2$. Ihr Graph heißt Normalparabel.
| $x$ | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
- Der tiefste Punkt ist der Scheitelpunkt $S(0 \mid 0)$.
- Die Parabel ist achsensymmetrisch zur y-Achse: $f(-x) = f(x)$.
- Sie ist nach oben geöffnet; alle Funktionswerte sind $\geq 0$.
Strecken, Stauchen, Spiegeln: der Faktor $a$
Merke: $f(x) = a \cdot x^2$
- $a > 0$: nach oben geöffnet, $a < 0$: nach unten geöffnet (an der x-Achse gespiegelt).
- $|a| > 1$: gestreckt – die Parabel wird schmaler.
- $|a| < 1$: gestaucht – die Parabel wird breiter.
Verschieben: die Scheitelpunktform
Ersetzt Du $x$ durch $(x - d)$ und addierst $e$, wird die Parabel verschoben:
- $d$ verschiebt nach rechts (bei $d > 0$) bzw. nach links. Achtung: In $(x - 2)^2$ ist $d = 2$, in $(x + 3)^2$ ist $d = -3$!
- $e$ verschiebt nach oben (bei $e > 0$) bzw. nach unten.
Tipp
Merke Dir: Was in der Klammer steht, wirkt „umgekehrt“ – das Minus in $(x - 2)$ bedeutet eine Verschiebung nach rechts.
Allgemeine Form und Scheitelpunktform umrechnen
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist $f(x) = ax^2 + bx + c$. Ist $a = 1$, also $f(x) = x^2 + px + q$, spricht man von der Normalform – nur in dieser Form darfst Du die pq-Formel direkt anwenden. (Manche Schulbücher nennen auch $ax^2 + bx + c$ schon „Normalform“.)
Scheitelpunktform → allgemeine Form
Löse das Quadrat mit einer binomischen Formel auf und fasse zusammen:
Allgemeine Form → Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung
Beispiel: $f(x) = x^2 - 6x + 5$
Ist $a \neq 1$, klammerst Du $a$ zuerst aus den $x$-Gliedern aus. Schneller geht es mit der Formel für den Scheitelpunkt:
Beispiel: $f(x) = 2x^2 + 8x + 3$ → $d = -\frac{8}{4} = -2$, $e = f(-2) = 8 - 16 + 3 = -5$, also $S(-2 \mid -5)$.
Nullstellen
Die Nullstellen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$. Du findest sie mit der pq-Formel oder der abc-Formel – oder direkt aus der Scheitelpunktform:
Eine Parabel hat zwei, eine oder keine Nullstelle. Am Scheitelpunkt siehst Du es sofort: Liegt er bei einer nach oben geöffneten Parabel unterhalb der x-Achse ($e < 0$), gibt es zwei Nullstellen; liegt er darüber ($e > 0$), keine; liegt er genau auf der Achse ($e = 0$), eine.
Kennst Du die Nullstellen, kannst Du die Funktion auch in faktorisierter Form schreiben: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, hier $f(x) = (x - 1)(x - 5)$.
Online üben
Stufe 3: Scheitelpunktform → allgemeine Form
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Aufgabe 1
\(f(x) = \left(x - 6\right)^2\)\(f(x) = x^{2} - 12x + 36\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = 4\left(x + 5\right)^2 - 7\)\(f(x) = 4x^{2} + 40x + 93\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = \left(x + 2\right)^2 + 7\)\(f(x) = x^{2} + 4x + 11\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = -2\left(x - 2\right)^2 + 3\)\(f(x) = -2x^{2} + 8x - 5\)
Arbeitsblatt: Scheitelpunktform und Scheitelpunkt
Bis zu 12 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Der Scheitelpunkt-Rechner zeigt die quadratische Ergänzung Schritt für Schritt und zeichnet die Parabel. Eigene Parabeln vergleichen kannst Du im Funktionsplotter.
Weiterlesen: Quadratische Funktion bei Wikipedia