Körper berechnen
Körper sind räumliche Figuren: Würfel, Schachteln, Dosen, Tüten oder Bälle. Bei Körpern berechnest Du vor allem zwei Größen: das Volumen (wie viel hineinpasst) und die Oberfläche (wie viel Material man für die Hülle braucht).
Grundbegriffe
- Ecken, Kanten, Flächen: Ein Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen.
- Volumen V (Rauminhalt) misst Du in Kubikeinheiten: $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$. Ein Kubikzentimeter ist ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge.
- Oberfläche O ist die Summe aller Begrenzungsflächen – gemessen in $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$ …
- Das Netz eines Körpers entsteht, wenn Du ihn an den Kanten aufschneidest und flach ausbreitest. Die Fläche des Netzes ist die Oberfläche.
Merke: Volumen und Liter
Würfel
Alle 12 Kanten sind gleich lang, alle 6 Flächen sind gleich große Quadrate.
Beispiel
Ein Würfel hat die Kantenlänge $a = 4\,\text{cm}$:
Rückwärts: Hat ein Würfel das Volumen $125\,\text{cm}^3$, suchst Du die Zahl, die dreimal mit sich selbst malgenommen 125 ergibt: $a = \sqrt[3]{125} = 5\,\text{cm}$.
Quader
Ein Quader hat 6 rechteckige Flächen, von denen je zwei gegenüberliegende gleich groß sind.
Beispiel: Aquarium
Ein Aquarium ist $60\,\text{cm}$ lang, $30\,\text{cm}$ breit und $40\,\text{cm}$ hoch.
Wie viel Glas braucht man? Ein Aquarium hat keinen Deckel, also nur den Boden und vier Seitenwände:
Prisma
Ein Prisma hat zwei gleiche, parallele Grundflächen $G$ (Dreieck, Sechseck …), die durch Rechtecke verbunden sind. Die Rechtecke bilden zusammen den Mantel $M$. Würfel und Quader sind besondere Prismen.
Dabei ist $u$ der Umfang der Grundfläche – der Mantel ist aufgerollt ein Rechteck mit den Seiten $u$ und $h$.
Beispiel: Zelt
Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $3\,\text{cm}$ und $4\,\text{cm}$ und der Hypotenuse $5\,\text{cm}$. Das Prisma ist $h = 10\,\text{cm}$ lang.
Zylinder
Ein Zylinder ist ein „rundes Prisma“: Grund- und Deckfläche sind Kreise. Der Mantel ist abgerollt ein Rechteck mit der Länge $2\pi r$ (Kreisumfang) und der Höhe $h$.
Beispiel: Konservendose
Eine Dose hat den Radius $r = 4\,\text{cm}$ und die Höhe $h = 10\,\text{cm}$.
Pyramide
Eine Pyramide hat eine Grundfläche $G$ und eine Spitze. Die Seitenflächen sind Dreiecke. Eine Pyramide passt genau dreimal in ein Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe:
Bei der quadratischen Pyramide ist $G = a^2$. Für den Mantel brauchst Du die Höhe $h_s$ einer Seitenfläche. Sie ist die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck aus $h$ und $\frac{a}{2}$:
Beispiel
$a = 6\,\text{cm}$, $h = 4\,\text{cm}$:
Kegel
Ein Kegel ist eine „runde Pyramide“ mit einem Kreis als Grundfläche. Die Mantellinie $s$ führt von der Spitze schräg zum Rand. Für sie gilt der Satz des Pythagoras:
Beispiel: Eistüte
$r = 3\,\text{cm}$, $h = 4\,\text{cm}$. Dann ist $s = \sqrt{9 + 16} = 5\,\text{cm}$ und
Eine Eistüte ist oben offen – für die Waffel zählt nur der Mantel $M = 15\pi\,\text{cm}^2 \approx 47{,}12\,\text{cm}^2$.
Kugel
Beispiel: Ball
Ein Ball hat den Radius $r = 6\,\text{cm}$:
Typische Fehler
- Falsche Einheit: Volumen in $\text{cm}^3$, Oberfläche in $\text{cm}^2$.
- Den Faktor $\frac{1}{3}$ vergessen bei Pyramide und Kegel.
- Höhe und schräge Länge verwechseln: Für das Volumen brauchst Du die senkrechte Höhe $h$, für den Mantel die Seitenhöhe $h_s$ bzw. die Mantellinie $s$.
- Oberfläche und Mantel verwechseln: Die Oberfläche enthält zusätzlich Grund- und Deckfläche.
Alle Formeln auf einen Blick
| Körper | Volumen | Oberfläche |
|---|---|---|
| Würfel | $V = a^3$ | $O = 6a^2$ |
| Quader | $V = a \cdot b \cdot c$ | $O = 2(ab + ac + bc)$ |
| Prisma | $V = G \cdot h$ | $O = 2G + u \cdot h$ |
| Zylinder | $V = \pi r^2 h$ | $O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ |
| Pyramide | $V = \frac{1}{3} G h$ | $O = G + M$ |
| Kegel | $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ | $O = \pi r^2 + \pi r s$ |
| Kugel | $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ | $O = 4 \pi r^2$ |
Der Körperrechner berechnet Volumen, Oberfläche und fehlende Maße aller Körper mit Rechenweg und Schrägbild – zum Beispiel die Konservendose.
Online üben: Würfel und Quader
Stufe 3: fehlende Kante aus dem Volumen
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Aufgabe 1
\(\text{Quader mit } V = 60\,\text{cm}^3,\ a = 12\,\text{cm},\ b = 5\,\text{cm}:\quad c\)\(\text{Quader mit } V = 60\,\text{cm}^3,\ a = 12\,\text{cm},\ b = 5\,\text{cm}:\quad c = 1\,\text{cm}\)
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Aufgabe 2
\(\text{Quader mit } V = 392\,\text{cm}^3,\ a = 7\,\text{cm},\ b = 8\,\text{cm}:\quad c\)\(\text{Quader mit } V = 392\,\text{cm}^3,\ a = 7\,\text{cm},\ b = 8\,\text{cm}:\quad c = 7\,\text{cm}\)
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Aufgabe 3
\(\text{Quader mit } V = 48\,\text{cm}^3,\ a = 4\,\text{cm},\ b = 3\,\text{cm}:\quad c\)\(\text{Quader mit } V = 48\,\text{cm}^3,\ a = 4\,\text{cm},\ b = 3\,\text{cm}:\quad c = 4\,\text{cm}\)
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Aufgabe 4
\(\text{Quader mit } V = 270\,\text{cm}^3,\ a = 9\,\text{cm},\ b = 5\,\text{cm}:\quad c\)\(\text{Quader mit } V = 270\,\text{cm}^3,\ a = 9\,\text{cm},\ b = 5\,\text{cm}:\quad c = 6\,\text{cm}\)
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Aufgabe 5
\(\text{Quader mit } V = 36\,\text{cm}^3,\ a = 4\,\text{cm},\ b = 3\,\text{cm}:\quad c\)\(\text{Quader mit } V = 36\,\text{cm}^3,\ a = 4\,\text{cm},\ b = 3\,\text{cm}:\quad c = 3\,\text{cm}\)
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Aufgabe 6
\(\text{Würfel mit } V = 512\,\text{cm}^3:\quad a\)\(\text{Würfel mit } V = 512\,\text{cm}^3:\quad a = 8\,\text{cm}\)
Arbeitsblatt: Volumen und Oberfläche von Würfel und Quader
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Weiterlesen: Körper (Geometrie) bei Wikipedia