Rechtwinkliges Dreieck berechnen
Trage zwei Größen eines rechtwinkligen Dreiecks ein – zum Beispiel zwei Seiten oder eine Seite und einen Winkel. Der Rechner bestimmt alle übrigen Seiten und Winkel, die Höhe, die Hypotenusenabschnitte, den Flächeninhalt und den Umfang.
Ergebnis
Alle Seiten und Winkel des rechtwinkligen Dreiecks (γ = 90°, gerundet auf zwei Nachkommastellen):
a = 5 cm · b ≈ 8,66 cm · c = 10 cm · α = 30° · β = 60°
| Größe | Wert |
|---|---|
| Kathete a | \(a = 5\,\text{cm}\) |
| Kathete b | \(b \approx 8{,}66\,\text{cm}\) |
| Hypotenuse c | \(c = 10\,\text{cm}\) gegeben |
| Winkel α | \(\alpha = 30^\circ\) gegeben |
| Winkel β | \(\beta = 60^\circ\) |
| Höhe h auf c | \(h \approx 4{,}33\,\text{cm}\) |
| Hypotenusenabschnitt p | \(p = 2{,}5\,\text{cm}\) |
| Hypotenusenabschnitt q | \(q = 7{,}5\,\text{cm}\) |
| Flächeninhalt A | \(A \approx 21{,}65\,\text{cm}^2\) |
| Umfang U | \(U \approx 23{,}66\,\text{cm}\) |
Rechenweg
Winkel β berechnen
Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°. Ein Winkel ist 90°, also bleiben für α und β zusammen 90°.
\[\beta = 90^\circ - \alpha\]\[\beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\]Kathete a mit dem Sinus
Der Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse. a ist die Gegenkathete von α.
\[\sin\alpha = \frac{a}{c} \;\Rightarrow\; a = c \cdot \sin\alpha\]\[a = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 5\,\text{cm}\]Kathete b mit Pythagoras
\[b = \sqrt{c^2 - a^2}\]\[b = \sqrt{10^2 - 5^2} \approx 8{,}66\,\text{cm}\]Höhe auf die Hypotenuse
Der Flächeninhalt lässt sich als a·b/2 und als c·h/2 schreiben – daraus folgt:
\[h = \frac{a \cdot b}{c}\]\[h = \frac{5 \cdot 8{,}66}{10} \approx 4{,}33\,\text{cm}\]Hypotenusenabschnitt p (Kathetensatz)
p ist der Abschnitt der Hypotenuse, der an der Kathete a liegt.
\[a^2 = c \cdot p \;\Rightarrow\; p = \frac{a^2}{c}\]\[p = \frac{5^2}{10} = 2{,}5\,\text{cm}\]Hypotenusenabschnitt q (Kathetensatz)
\[b^2 = c \cdot q \;\Rightarrow\; q = \frac{b^2}{c}\]\[q = \frac{8{,}66^2}{10} = 7{,}5\,\text{cm}\]Flächeninhalt
Die beiden Katheten stehen senkrecht – eine ist die Höhe zur anderen.
\[A = \frac{a \cdot b}{2}\]\[A = \frac{5 \cdot 8{,}66}{2} \approx 21{,}65\,\text{cm}^2\]Umfang
\[U = a + b + c\]\[U = 5 + 8{,}66 + 10 \approx 23{,}66\,\text{cm}\]
Die wichtigsten Formeln
| Satz | Formel |
|---|---|
| Pythagoras | $a^2 + b^2 = c^2$ |
| Sinus | $\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}$ |
| Kosinus | $\cos\alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}$ |
| Tangens | $\tan\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b}$ |
| Winkelsumme | $\alpha + \beta = 90^\circ$ |
| Kathetensatz | $a^2 = c \cdot p \qquad b^2 = c \cdot q$ |
| Höhensatz | $h^2 = p \cdot q$ |
| Fläche | $A = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h}{2}$ |
Die Erklärung mit Beispielen findest Du unter Sinus, Kosinus und Tangens. Für Dreiecke ohne rechten Winkel nimmst Du den Dreiecksrechner.