Rechtwinkliges Dreieck berechnen
Trage zwei Größen eines rechtwinkligen Dreiecks ein – zum Beispiel zwei Seiten oder eine Seite und einen Winkel. Der Rechner bestimmt alle übrigen Seiten und Winkel, die Höhe, die Hypotenusenabschnitte, den Flächeninhalt und den Umfang.
Ergebnis
Alle Seiten und Winkel des rechtwinkligen Dreiecks (γ = 90°, gerundet auf zwei Nachkommastellen):
a ≈ 7,21 cm · b ≈ 10,82 cm · c = 13 cm · α ≈ 33,69° · β ≈ 56,31°
| Größe | Wert |
|---|---|
| Kathete a | \(a \approx 7{,}21\,\text{cm}\) |
| Kathete b | \(b \approx 10{,}82\,\text{cm}\) |
| Hypotenuse c | \(c = 13\,\text{cm}\) |
| Winkel α | \(\alpha \approx 33{,}69^\circ\) |
| Winkel β | \(\beta \approx 56{,}31^\circ\) |
| Höhe h auf c | \(h = 6\,\text{cm}\) |
| Hypotenusenabschnitt p | \(p = 4\,\text{cm}\) gegeben |
| Hypotenusenabschnitt q | \(q = 9\,\text{cm}\) gegeben |
| Flächeninhalt A | \(A = 39\,\text{cm}^2\) |
| Umfang U | \(U \approx 31{,}03\,\text{cm}\) |
Rechenweg
Hypotenuse aus den Abschnitten
\[c = p + q\]\[c = 4 + 9 = 13\,\text{cm}\]Höhe mit dem Höhensatz
\[h^2 = p \cdot q \;\Rightarrow\; h = \sqrt{p \cdot q}\]\[h = \sqrt{4 \cdot 9} = 6\,\text{cm}\]Kathete a mit dem Kathetensatz
\[a = \sqrt{c \cdot p}\]\[a = \sqrt{13 \cdot 4} \approx 7{,}21\,\text{cm}\]Kathete b mit Pythagoras
\[b = \sqrt{c^2 - a^2}\]\[b = \sqrt{13^2 - 7{,}21^2} \approx 10{,}82\,\text{cm}\]Winkel α mit dem Sinus
Mit der Umkehrfunktion (Taste sin⁻¹ bzw. arcsin) erhältst Du den Winkel.
\[\sin\alpha = \frac{a}{c} \;\Rightarrow\; \alpha = \sin^{-1}\!\left(\frac{a}{c}\right)\]\[\alpha = \sin^{-1}\!\left(\frac{7{,}21}{13}\right) \approx 33{,}69^\circ\]Winkel β berechnen
Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°. Ein Winkel ist 90°, also bleiben für α und β zusammen 90°.
\[\beta = 90^\circ - \alpha\]\[\beta = 90^\circ - 33{,}69^\circ \approx 56{,}31^\circ\]Flächeninhalt
Die beiden Katheten stehen senkrecht – eine ist die Höhe zur anderen.
\[A = \frac{a \cdot b}{2}\]\[A = \frac{7{,}21 \cdot 10{,}82}{2} = 39\,\text{cm}^2\]Umfang
\[U = a + b + c\]\[U = 7{,}21 + 10{,}82 + 13 \approx 31{,}03\,\text{cm}\]
Die wichtigsten Formeln
| Satz | Formel |
|---|---|
| Pythagoras | $a^2 + b^2 = c^2$ |
| Sinus | $\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}$ |
| Kosinus | $\cos\alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}$ |
| Tangens | $\tan\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b}$ |
| Winkelsumme | $\alpha + \beta = 90^\circ$ |
| Kathetensatz | $a^2 = c \cdot p \qquad b^2 = c \cdot q$ |
| Höhensatz | $h^2 = p \cdot q$ |
| Fläche | $A = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h}{2}$ |
Die Erklärung mit Beispielen findest Du unter Sinus, Kosinus und Tangens. Für Dreiecke ohne rechten Winkel nimmst Du den Dreiecksrechner.