Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik. Mit ihm berechnest Du in jedem rechtwinkligen Dreieck die dritte Seite, wenn Du zwei Seiten kennst – zum Beispiel, wie hoch eine Leiter reicht oder wie lang die Diagonale eines Bildschirms ist.
Hypotenuse und Katheten
In einem rechtwinkligen Dreieck haben die Seiten besondere Namen:
- Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist immer die längste Seite.
- Die beiden Katheten bilden den rechten Winkel.
Merke: Satz des Pythagoras
Liegt der rechte Winkel bei $C$, dann ist $c$ die Hypotenuse und $a$, $b$ sind die Katheten. Es gilt:
In Worten: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.
Die Hypotenuse berechnen
Beispiel
Die Katheten sind $a = 6\,\text{cm}$ und $b = 8\,\text{cm}$ lang. Gesucht ist die Hypotenuse $c$:
Meist geht die Wurzel nicht auf. Mit $a = 5\,\text{cm}$ und $b = 7\,\text{cm}$ ist $c = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \approx 8{,}60\,\text{cm}$.
Eine Kathete berechnen
Ist die Hypotenuse bekannt, stellst Du die Formel um. Die gesuchte Kathete ist die Wurzel aus „Hypotenusenquadrat minus bekanntes Kathetenquadrat“:
Beispiel
$c = 13\,\text{cm}$ und $a = 5\,\text{cm}$:
Typische Fehler
- Nicht quadriert: $c = a + b$ ist falsch! Erst quadrieren, dann addieren, dann die Wurzel ziehen.
- Die Wurzel vergessen: $c^2 = 100$ bedeutet $c = 10$, nicht $c = 100$.
- Falsche Seite als Hypotenuse: Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber – sie heißt nicht automatisch $c$. Liegt der rechte Winkel bei $A$, gilt $b^2 + c^2 = a^2$.
- Plus statt minus bei der Kathete: $\sqrt{c^2 + a^2}$ wäre länger als die Hypotenuse – das kann nicht sein.
Tipp: Pythagoreische Zahlentripel
Bei manchen Dreiecken geht die Wurzel glatt auf. Diese Zahlen kommen in Aufgaben oft vor: $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$, $(7, 24, 25)$ – und alle Vielfachen davon, z. B. $(6, 8, 10)$ oder $(9, 12, 15)$.
Warum gilt der Satz?
Lege vier gleiche rechtwinklige Dreiecke in ein Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$. In der Mitte bleibt ein Quadrat mit der Seitenlänge $c$ frei. Die Fläche des großen Quadrats kannst Du auf zwei Arten berechnen:
Ist das Dreieck rechtwinklig? – Die Umkehrung
Der Satz gilt auch umgekehrt: Wenn für die drei Seiten $a^2 + b^2 = c^2$ gilt (mit $c$ als längster Seite), dann ist das Dreieck rechtwinklig.
Beispiel
- Seiten 9 cm, 12 cm, 15 cm: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ ✓ – rechtwinklig.
- Seiten 6 cm, 7 cm, 9 cm: $6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85 \neq 81 = 9^2$ – nicht rechtwinklig.
Das kannst Du praktisch nutzen: Ein Seil mit 12 gleich langen Abschnitten, als Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 gespannt, ergibt einen rechten Winkel – so prüfen Handwerker bis heute, ob eine Ecke wirklich rechtwinklig ist.
Anwendungen
Beispiel: Leiter
Eine $5\,\text{m}$ lange Leiter lehnt an einer Wand. Ihr Fuß steht $1{,}4\,\text{m}$ von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie? Die Leiter ist die Hypotenuse:
Beispiel: Bildschirmdiagonale
Ein Bildschirm ist $48\,\text{cm}$ breit und $27\,\text{cm}$ hoch. Die Diagonale ist $d = \sqrt{48^2 + 27^2} = \sqrt{2304 + 729} = \sqrt{3033} \approx 55{,}07\,\text{cm}$ – das sind etwa 21,7 Zoll (1 Zoll = 2,54 cm).
Beispiel: Raumdiagonale und Abstand zweier Punkte
Im Quader mit den Kanten $a$, $b$, $c$ wendest Du den Satz zweimal an: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Für $a = 3$, $b = 4$, $c = 12$ ist $d = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
Der Abstand der Punkte $A(1 \mid 2)$ und $B(7 \mid 10)$ im Koordinatensystem: $\overline{AB} = \sqrt{(7 - 1)^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$.
Mit dem Pythagoras-Rechner rechnest Du eigene Aufgaben mit Rechenweg – exakt mit Wurzel und gerundet. Mehr zum Wurzelziehen: Wurzeln.
Online üben
Stufe 1: Hypotenuse gesucht, Stufe 2: Kathete gesucht, Stufe 3: Ergebnisse mit Wurzel.
Stufe 3: Ergebnis mit Wurzel
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Aufgabe 1
\(a = 11,\ b = 3:\ c\)\(a = 11,\ b = 3:\ c = \sqrt{130} \approx 11{,}4\)
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Aufgabe 2
\(a = 1,\ b = 12:\ c\)\(a = 1,\ b = 12:\ c = \sqrt{145} \approx 12{,}04\)
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Aufgabe 3
\(c = 12,\ a = 3:\ b\)\(c = 12,\ a = 3:\ b = 3\sqrt{15} \approx 11{,}62\)
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Aufgabe 4
\(c = 10,\ a = 6:\ b\)\(c = 10,\ a = 6:\ b = 8\)
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Aufgabe 5
\(c = 14,\ a = 1:\ b\)\(c = 14,\ a = 1:\ b = \sqrt{195} \approx 13{,}96\)
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Aufgabe 6
\(a = 12,\ b = 1:\ c\)\(a = 12,\ b = 1:\ c = \sqrt{145} \approx 12{,}04\)
Arbeitsblatt: Satz des Pythagoras
Bis zu 12 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–9.
Weiterlesen: Satz des Pythagoras bei Wikipedia