Sinussatz und Kosinussatz
Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse funktionieren nur im rechtwinkligen Dreieck. Mit dem Sinussatz und dem Kosinussatz berechnest Du fehlende Seiten und Winkel in jedem Dreieck.
Wichtig ist die Bezeichnung: Jede Seite liegt ihrem gleichnamigen Winkel gegenüber – $a$ gegenüber $\alpha$, $b$ gegenüber $\beta$, $c$ gegenüber $\gamma$. Außerdem gilt immer $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.
Der Sinussatz
Merke: Sinussatz
In jedem Dreieck ist das Verhältnis aus einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels gleich groß.
Warum? Die Höhe $h_c$ zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Im linken ist $\sin \alpha = \frac{h_c}{b}$, im rechten $\sin \beta = \frac{h_c}{a}$. Also ist $h_c = b \cdot \sin \alpha = a \cdot \sin \beta$ – und daraus folgt $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$.
Beispiel (WSW)
Gegeben: $c = 8\,\text{cm}$, $\alpha = 40^\circ$, $\beta = 60^\circ$. Zuerst der dritte Winkel: $\gamma = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$. Dann mit dem Sinussatz:
Der Kosinussatz
Merke: Kosinussatz
Der Kosinussatz ist ein „erweiterter Pythagoras“: Ist $\gamma = 90^\circ$, dann ist $\cos \gamma = 0$, und es bleibt $c^2 = a^2 + b^2$ übrig.
Beispiel (SWS): Seite berechnen
Gegeben: $b = 4\,\text{cm}$, $c = 6\,\text{cm}$ und der eingeschlossene Winkel $\alpha = 50^\circ$.
Den nächsten Winkel berechnest Du mit dem Sinussatz – am besten den kleineren der beiden übrigen Winkel. Er liegt der kürzeren Seite $b$ gegenüber und ist sicher spitz: $\sin \beta = \frac{b \cdot \sin \alpha}{a} \approx 0{,}6663$, also $\beta \approx 41{,}79^\circ$ und $\gamma \approx 88{,}21^\circ$.
Beispiel (SSS): Winkel berechnen
Gegeben: $a = 5\,\text{cm}$, $b = 6\,\text{cm}$, $c = 7\,\text{cm}$. Den Kosinussatz stellst Du nach dem Kosinus um:
Tipp
Mit dem Kosinussatz bekommst Du einen Winkel immer eindeutig – auch wenn er stumpf ist. Ein negativer Kosinus bedeutet einen Winkel über 90°.
Welcher Satz wann?
| Gegeben | So gehst Du vor |
|---|---|
| SSS – drei Seiten | Kosinussatz für zwei Winkel, der dritte über die Winkelsumme |
| SWS – zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel | Kosinussatz für die dritte Seite, dann Sinussatz für den kleineren Winkel |
| WSW – eine Seite und die beiden anliegenden Winkel | Winkelsumme für den dritten Winkel, dann Sinussatz |
| SWW – eine Seite, ein anliegender und der gegenüberliegende Winkel | Winkelsumme, dann Sinussatz |
| SSW – zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel | Sinussatz – Vorsicht: 0, 1 oder 2 Lösungen! |
Sonderfall SSW: zwei Lösungen
Gegeben sind $a = 6\,\text{cm}$, $b = 8\,\text{cm}$ und $\alpha = 35^\circ$. Der Winkel liegt nicht zwischen den beiden Seiten. Mit dem Sinussatz:
Der Taschenrechner liefert $\beta_1 \approx 49{,}89^\circ$. Aber auch $\beta_2 = 180^\circ - 49{,}89^\circ = 130{,}11^\circ$ hat denselben Sinus! Beide passen, denn $35^\circ + 130{,}11^\circ$ ist noch kleiner als $180^\circ$. Es gibt also zwei Dreiecke:
- $\beta_1 \approx 49{,}89^\circ$, $\gamma_1 \approx 95{,}11^\circ$, $c_1 \approx 10{,}42\,\text{cm}$
- $\beta_2 \approx 130{,}11^\circ$, $\gamma_2 \approx 14{,}89^\circ$, $c_2 \approx 2{,}69\,\text{cm}$
Merke: Wie viele Lösungen bei SSW?
Gegeben sind $a$, $b$ und der Winkel $\alpha$, der der Seite $a$ gegenüber liegt.
- Ist $\alpha$ spitz ($\alpha < 90^\circ$) und $a \geq b$, gibt es genau eine Lösung.
- Ist $\alpha$ spitz und $a < b$, vergleichst Du $a$ mit $b \cdot \sin \alpha$: ist $a$ kleiner, gibt es keine Lösung, ist $a$ genau gleich, gibt es eine (rechtwinklige), ist $a$ größer, gibt es zwei.
- Ist $\alpha$ rechtwinklig oder stumpf ($\alpha \geq 90^\circ$), gibt es nur für $a > b$ eine Lösung, sonst keine – der größte Winkel liegt immer der längsten Seite gegenüber.
Flächeninhalt mit dem Sinus
Kennst Du zwei Seiten und den Winkel dazwischen, brauchst Du die Höhe nicht extra auszurechnen:
Beispiel
Für das Dreieck mit $a = 5\,\text{cm}$, $b = 6\,\text{cm}$ und $\gamma \approx 78{,}46^\circ$: $A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin 78{,}46^\circ \approx 14{,}70\,\text{cm}^2$.
Typische Fehler
- Seite und Winkel falsch zugeordnet: Im Sinussatz stehen immer gegenüberliegende Paare.
- Beim Kosinussatz das Minus oder die 2 vergessen: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.
- Zuerst subtrahieren statt multiplizieren: Im Beispiel ist $52 - 48 \cdot \cos 50^\circ$ nicht $(52 - 48) \cdot \cos 50^\circ$.
- Bei SSW die zweite Lösung übersehen.
Der Dreiecksrechner erkennt den Fall automatisch und berechnet alle Seiten, Winkel, Höhen und den Flächeninhalt – auch beide Lösungen im Beispiel oben.
Online üben
Runde Seiten und Winkel auf zwei Nachkommastellen.
Stufe 3: gemischt
-
Aufgabe 1
\(a = 4\,\text{cm},\ b = 10\,\text{cm},\ c = 11\,\text{cm}:\ \gamma\)\(a = 4\,\text{cm},\ b = 10\,\text{cm},\ c = 11\,\text{cm}:\ \gamma = 93{,}58^\circ\)
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Aufgabe 2
\(c = 6\,\text{cm},\ \alpha = 33^\circ,\ \beta = 45^\circ:\ b\)\(c = 6\,\text{cm},\ \alpha = 33^\circ,\ \beta = 45^\circ:\ b = 4{,}34\,\text{cm}\)
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Aufgabe 3
\(b = 7\,\text{cm},\ c = 5\,\text{cm},\ \alpha = 22^\circ:\ a\)\(b = 7\,\text{cm},\ c = 5\,\text{cm},\ \alpha = 22^\circ:\ a = 3{,}02\,\text{cm}\)
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Aufgabe 4
\(c = 5\,\text{cm},\ \alpha = 62^\circ,\ \beta = 44^\circ:\ b\)\(c = 5\,\text{cm},\ \alpha = 62^\circ,\ \beta = 44^\circ:\ b = 3{,}61\,\text{cm}\)
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Aufgabe 5
\(c = 8\,\text{cm},\ \alpha = 51^\circ,\ \beta = 52^\circ:\ b\)\(c = 8\,\text{cm},\ \alpha = 51^\circ,\ \beta = 52^\circ:\ b = 6{,}47\,\text{cm}\)
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Aufgabe 6
\(b = 3\,\text{cm},\ c = 11\,\text{cm},\ \alpha = 92^\circ:\ a\)\(b = 3\,\text{cm},\ c = 11\,\text{cm},\ \alpha = 92^\circ:\ a = 11{,}5\,\text{cm}\)
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Weiterlesen: Sinussatz bei Wikipedia