Strahlensätze
Zwei Strahlen gehen von einem gemeinsamen Punkt $Z$ aus und werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Dann stehen die entstehenden Strecken in festen Verhältnissen zueinander. Damit kannst Du Längen berechnen, die Du nicht direkt messen kannst – etwa die Höhe eines Baumes.
Das Zentrum heißt $Z$. Auf dem einen Strahl liegen $A$ und $A'$, auf dem anderen $B$ und $B'$. Die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{A'B'}$ sind parallel. Bei der X-Figur schneiden sich zwei Geraden in $Z$, und die Parallelen liegen auf verschiedenen Seiten von $Z$ – die Strahlensätze gelten genauso.
Der erste Strahlensatz
Merke: 1. Strahlensatz
Die Abschnitte auf dem einen Strahl stehen im selben Verhältnis wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl:
Beispiel
Gegeben: $\overline{ZA} = 4\,\text{cm}$, $\overline{ZA'} = 6\,\text{cm}$, $\overline{ZB} = 5\,\text{cm}$. Gesucht: $\overline{ZB'}$.
Am einfachsten stellst Du die Gleichung so auf, dass die gesuchte Strecke im Zähler steht: $\frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}} = \frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}$, also $\overline{ZB'} = 5 \cdot \frac{6}{4} = 7{,}5\,\text{cm}$.
Der zweite Strahlensatz
Merke: 2. Strahlensatz
Die parallelen Strecken stehen im selben Verhältnis wie die zugehörigen Strahlenabschnitte, von Z aus gemessen:
Beispiel
Gegeben: $\overline{ZA} = 4\,\text{cm}$, $\overline{ZA'} = 6\,\text{cm}$ und $\overline{AB} = 3\,\text{cm}$. Gesucht: $\overline{A'B'}$.
Typische Fehler
- Beim 2. Strahlensatz darfst Du nicht die Teilstrecke $\overline{AA'}$ verwenden – nur Strecken, die in $Z$ beginnen! $\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{ZA}}{\overline{AA'}}$ ist falsch.
- Zähler und Nenner vertauscht: Auf beiden Seiten muss oben dieselbe „Ebene“ stehen (beide Male die kurze oder beide Male die lange Strecke).
- Die Strahlensätze gelten nur, wenn die Geraden wirklich parallel sind.
Tipp: Streckfaktor
Die große Figur ist eine Vergrößerung der kleinen. Der Faktor $k = \frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}$ gilt für alle entsprechenden Strecken. Im Beispiel ist $k = \frac{6}{4} = 1{,}5$: $\overline{ZB'} = 1{,}5 \cdot 5 = 7{,}5$ und $\overline{A'B'} = 1{,}5 \cdot 3 = 4{,}5$.
Die X-Figur
Beispiel
In einer X-Figur ist $\overline{ZA} = 3\,\text{cm}$, $\overline{ZA'} = 4{,}5\,\text{cm}$ und $\overline{AB} = 2\,\text{cm}$. Mit dem 2. Strahlensatz:
Anwendung: Wie hoch ist der Baum?
Ein $1{,}5\,\text{m}$ langer Stab wirft einen $2\,\text{m}$ langen Schatten. Zur gleichen Zeit ist der Schatten eines Baumes $18\,\text{m}$ lang. Stab und Baum stehen senkrecht, sind also parallel – und die Schattenspitzen treffen sich im Punkt $Z$:
Umkehrung des ersten Strahlensatzes
Gilt $\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}} = \frac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}$, dann sind die Geraden $AB$ und $A'B'$ parallel. So kannst Du Parallelität nachrechnen. Für den zweiten Strahlensatz gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht.
Online üben
Stufe 1: 1. Strahlensatz
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Aufgabe 1
\(\text{ZA} = 6,\ \text{ZA'} = 15,\ \text{ZB} = 2:\quad \text{ZB'}\)\(\text{ZA} = 6,\ \text{ZA'} = 15,\ \text{ZB} = 2:\quad \text{ZB'} = 5\)
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Aufgabe 2
\(\text{ZA} = 2,\ \text{ZB} = 8,\ \text{ZB'} = 24:\quad \text{ZA'}\)\(\text{ZA} = 2,\ \text{ZB} = 8,\ \text{ZB'} = 24:\quad \text{ZA'} = 6\)
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Aufgabe 3
\(\text{ZA} = 7,\ \text{ZB} = 8,\ \text{ZB'} = 32:\quad \text{ZA'}\)\(\text{ZA} = 7,\ \text{ZB} = 8,\ \text{ZB'} = 32:\quad \text{ZA'} = 28\)
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Aufgabe 4
\(\text{ZA} = 3,\ \text{ZA'} = 6,\ \text{ZB} = 2:\quad \text{ZB'}\)\(\text{ZA} = 3,\ \text{ZA'} = 6,\ \text{ZB} = 2:\quad \text{ZB'} = 4\)
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Aufgabe 5
\(\text{ZA} = 5,\ \text{ZB} = 4,\ \text{ZB'} = 8:\quad \text{ZA'}\)\(\text{ZA} = 5,\ \text{ZB} = 4,\ \text{ZB'} = 8:\quad \text{ZA'} = 10\)
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Aufgabe 6
\(\text{ZA} = 4,\ \text{ZA'} = 16,\ \text{ZB} = 8:\quad \text{ZB'}\)\(\text{ZA} = 4,\ \text{ZA'} = 16,\ \text{ZB} = 8:\quad \text{ZB'} = 32\)
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Weiterlesen: Strahlensatz bei Wikipedia