Sinus, Kosinus und Tangens
Mit dem Satz des Pythagoras berechnest Du Seiten aus Seiten. Mit Sinus, Kosinus und Tangens verbindest Du im rechtwinkligen Dreieck Seiten und Winkel: Du kannst aus einem Winkel und einer Seite die anderen Seiten berechnen – oder aus zwei Seiten einen Winkel.
Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse
Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Welche Kathete „Gegenkathete“ und welche „Ankathete“ heißt, hängt vom Winkel ab, den Du gerade betrachtest:
- Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber.
- Die Ankathete liegt am Winkel an (sie ist ein Schenkel des Winkels).
Für $\alpha$ ist $a$ die Gegenkathete und $b$ die Ankathete – für $\beta$ ist es genau umgekehrt.
Die drei Definitionen
Merke
Eselsbrücke: „GAGA – HüHü – AG“ steht für $\frac{G}{H}$, $\frac{A}{H}$, $\frac{G}{A}$ – in der Reihenfolge sin, cos, tan.
Liegt der rechte Winkel bei $C$, heißt das konkret:
| Sinus | Kosinus | Tangens | |
|---|---|---|---|
| Winkel $\alpha$ | $\sin \alpha = \frac{a}{c}$ | $\cos \alpha = \frac{b}{c}$ | $\tan \alpha = \frac{a}{b}$ |
| Winkel $\beta$ | $\sin \beta = \frac{b}{c}$ | $\cos \beta = \frac{a}{c}$ | $\tan \beta = \frac{b}{a}$ |
Diese Verhältnisse hängen nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks: Alle rechtwinkligen Dreiecke mit $\alpha = 30^\circ$ sind ähnlich, und in jedem ist die Gegenkathete halb so lang wie die Hypotenuse.
Eine Seite berechnen
So gehst Du vor: (1) Skizze machen, (2) gegebene und gesuchte Seite aus Sicht des gegebenen Winkels benennen, (3) die passende Formel wählen und umstellen.
Beispiel: Hypotenuse und Winkel gegeben
$c = 10\,\text{cm}$ und $\alpha = 30^\circ$. Gesucht sind die Katheten.
Beispiel: Kathete und Winkel gegeben
$a = 5\,\text{cm}$ und $\alpha = 40^\circ$. Gesucht ist die Hypotenuse $c$. Aus Sicht von $\alpha$ ist $a$ die Gegenkathete – also Sinus:
Achtung beim Umstellen
Steht die gesuchte Seite im Zähler, multiplizierst Du: $a = c \cdot \sin \alpha$. Steht sie im Nenner, teilst Du: $c = \frac{a}{\sin \alpha}$.
Einen Winkel berechnen
Kennst Du zwei Seiten, berechnest Du zuerst das Verhältnis und dann mit der Umkehrfunktion den Winkel. Auf dem Taschenrechner heißen sie $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ und $\tan^{-1}$ (meist über die Taste SHIFT oder 2nd).
Beispiel
Die Katheten sind $a = 3\,\text{cm}$ und $b = 4\,\text{cm}$. Aus Sicht von $\alpha$ sind das Gegen- und Ankathete – also Tangens:
Typische Fehler
- Taschenrechner im falschen Modus: Für Winkel in Grad muss DEG eingestellt sein, nicht RAD. Test: $\sin 30^\circ$ muss $0{,}5$ ergeben.
- Gegen- und Ankathete vertauscht: Immer vom betrachteten Winkel aus schauen!
- $\sin^{-1}$ ist nicht $\frac{1}{\sin}$: $\sin^{-1}(0{,}5) = 30^\circ$ ist der Winkel, dessen Sinus 0,5 ist.
- Sinus, Kosinus und Tangens in dieser Form gelten nur im rechtwinkligen Dreieck. Für andere Dreiecke gibt es den Sinus- und Kosinussatz.
Wichtige Werte
| $\alpha$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin \alpha$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos \alpha$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan \alpha$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | nicht definiert |
Tipp: Zusammenhänge
Der letzte Zusammenhang erklärt die Tabelle: $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ$. Im rechtwinkligen Dreieck ist ja $\beta = 90^\circ - \alpha$, und die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Ankathete von $\beta$.
Anwendungen
Beispiel: Steigung einer Straße
Ein Schild zeigt 12 % Steigung: Auf 100 m waagerechter Strecke geht es 12 m nach oben. Der Steigungswinkel ist $\alpha = \tan^{-1}(0{,}12) \approx 6{,}84^\circ$.
Beispiel: Höhe eines Turms
Du stehst $50\,\text{m}$ vom Fuß eines Turms entfernt und siehst die Spitze unter einem Winkel von $35^\circ$. Die Höhe ist die Gegenkathete, der Abstand die Ankathete:
(Genau genommen kommt noch Deine Augenhöhe dazu.)
Ausblick: Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Im Einheitskreis (Radius 1) ist die Hypotenuse immer 1. Deshalb ist $\cos \alpha$ einfach die $x$-Koordinate und $\sin \alpha$ die $y$-Koordinate des Punktes $P$. So lassen sich Sinus und Kosinus auch für Winkel über 90° festlegen – mehr dazu bei den trigonometrischen Funktionen.
Eigene Aufgaben rechnen? Der Rechner für das rechtwinklige Dreieck berechnet aus zwei Angaben alle Seiten und Winkel mit Rechenweg.
Online üben
Alle Dreiecke haben den rechten Winkel bei $C$. Runde auf zwei Nachkommastellen.
Stufe 2: Winkel berechnen
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Aufgabe 1
\(b = 11\,\text{cm},\ c = 14\,\text{cm}:\ \alpha\)\(b = 11\,\text{cm},\ c = 14\,\text{cm}:\ \alpha = 38{,}21^\circ\)
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Aufgabe 2
\(a = 5\,\text{cm},\ b = 14\,\text{cm}:\ \alpha\)\(a = 5\,\text{cm},\ b = 14\,\text{cm}:\ \alpha = 19{,}65^\circ\)
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Aufgabe 3
\(a = 7\,\text{cm},\ c = 15\,\text{cm}:\ \alpha\)\(a = 7\,\text{cm},\ c = 15\,\text{cm}:\ \alpha = 27{,}82^\circ\)
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Aufgabe 4
\(b = 6\,\text{cm},\ c = 13\,\text{cm}:\ \alpha\)\(b = 6\,\text{cm},\ c = 13\,\text{cm}:\ \alpha = 62{,}51^\circ\)
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Aufgabe 5
\(b = 2\,\text{cm},\ c = 9\,\text{cm}:\ \alpha\)\(b = 2\,\text{cm},\ c = 9\,\text{cm}:\ \alpha = 77{,}16^\circ\)
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Aufgabe 6
\(a = 7\,\text{cm},\ c = 19\,\text{cm}:\ \alpha\)\(a = 7\,\text{cm},\ c = 19\,\text{cm}:\ \alpha = 21{,}62^\circ\)
Arbeitsblatt: Sinus, Kosinus und Tangens
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Weiterlesen: Trigonometrie bei Wikipedia