Umfang und Flächeninhalt
Der Umfang ist die Länge des Randes einer Figur – so viel Zaun brauchst Du, um einen Garten einzuzäunen. Der Flächeninhalt sagt, wie viel Fläche die Figur bedeckt – so viel Rasen musst Du säen. Hier findest Du alle Formeln mit Beispielen.
Umfang und Flächeninhalt verstehen
Das Rechteck ist 5 cm lang und 3 cm breit. Es besteht aus 3 Reihen mit je 5 Kästchen. Jedes Kästchen ist ein Quadratzentimeter ($1\,\text{cm}^2$) groß.
- Flächeninhalt: Kästchen zählen – oder schneller rechnen: $A = 5 \cdot 3 = 15\,\text{cm}^2$.
- Umfang: einmal um das Rechteck herumlaufen: $U = 5 + 3 + 5 + 3 = 16\,\text{cm}$.
Merke
Der Umfang ist eine Länge (cm, m). Der Flächeninhalt wird in Flächeneinheiten gemessen (cm², m²). Ein Quadratzentimeter ist ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge.
Quadrat
Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang und alle Winkel rechte Winkel.
Beispiel
Ein quadratisches Beet hat die Seitenlänge $a = 6\,\text{m}$.
Umgekehrt: Ist $A = 49\,\text{cm}^2$ gegeben, suchst Du die Zahl, die mit sich selbst malgenommen 49 ergibt: $a = \sqrt{49} = 7\,\text{cm}$.
Rechteck
Beim Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang, alle Winkel sind rechte Winkel.
Beispiel
Ein Zimmer ist $a = 4{,}5\,\text{m}$ lang und $b = 3\,\text{m}$ breit.
Beispiel: fehlende Seite berechnen
Ein Rechteck hat den Flächeninhalt $A = 24\,\text{cm}^2$ und die Seite $a = 6\,\text{cm}$. Wie lang ist $b$?
Ist stattdessen der Umfang $U = 30\,\text{cm}$ und $a = 9\,\text{cm}$ gegeben: Zwei Seiten $a$ sind zusammen $18\,\text{cm}$, für die beiden Seiten $b$ bleiben $12\,\text{cm}$, also $b = 6\,\text{cm}$. Als Formel: $b = \frac{U - 2a}{2}$.
Typische Fehler
- Umfang und Fläche verwechseln: Beim Umfang wird addiert, beim Flächeninhalt multipliziert.
- Verschiedene Einheiten: $a = 2\,\text{m}$ und $b = 50\,\text{cm}$ darfst Du nicht einfach malnehmen. Erst umrechnen: $2\,\text{m} = 200\,\text{cm}$, dann $A = 200 \cdot 50 = 10\,000\,\text{cm}^2 = 1\,\text{m}^2$.
- Einheit vergessen: Beim Flächeninhalt immer cm², m² … schreiben, nicht cm.
Parallelogramm
Schneidest Du links ein Dreieck ab und setzt es rechts wieder an, entsteht ein Rechteck mit der Länge $a$ und der Breite $h_a$. Die Fläche ändert sich dabei nicht. Deshalb gilt:
Die Höhe $h_a$ ist der senkrechte Abstand zwischen der Seite $a$ und der gegenüberliegenden Seite.
Beispiel
$a = 7\,\text{cm}$, $h_a = 4\,\text{cm}$, $b = 5\,\text{cm}$:
Achtung
Für die Fläche brauchst Du die Höhe, nicht die schräge Seite: $A = a \cdot b$ wäre falsch! Die schräge Seite $b$ ist immer länger als die Höhe – $a \cdot b$ ergibt also eine zu große Fläche.
Dreieck
Zwei deckungsgleiche (kongruente) Dreiecke lassen sich immer zu einem Parallelogramm zusammenlegen. Ein Dreieck ist also halb so groß wie das Parallelogramm mit derselben Grundseite $g$ und Höhe $h_g$:
Beispiel
Ein Dreieck hat die Grundseite $g = 8\,\text{cm}$ und die Höhe $h_g = 5\,\text{cm}$:
Beim rechtwinkligen Dreieck stehen die beiden Katheten senkrecht aufeinander. Eine ist die Grundseite, die andere die Höhe: Mit $a = 6\,\text{cm}$ und $b = 4\,\text{cm}$ ist $A = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12\,\text{cm}^2$.
Tipp
Jede Seite kann Grundseite sein – Du brauchst nur die passende Höhe dazu. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt die Höhe manchmal außerhalb des Dreiecks. Kennst Du nur die drei Seiten, rechnet der Flächenrechner die Höhe für Dich aus.
Trapez
Ein Trapez hat zwei parallele Seiten $a$ und $c$. Du nimmst den Mittelwert der beiden parallelen Seiten und multiplizierst ihn mit der Höhe:
Beispiel
$a = 9\,\text{cm}$, $c = 5\,\text{cm}$, $h = 4\,\text{cm}$:
Raute und Drachenviereck
Bei Raute und Drachen stehen die Diagonalen $e$ und $f$ senkrecht aufeinander. Die Figur ist genau halb so groß wie das Rechteck mit den Seiten $e$ und $f$:
Beispiel
Eine Raute hat die Diagonalen $e = 8\,\text{cm}$ und $f = 6\,\text{cm}$:
Die Diagonalen halbieren sich und teilen die Raute in vier rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten 4 cm und 3 cm. Mit dem Satz des Pythagoras ist die Seite $a = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\,\text{cm}$, also $U = 20\,\text{cm}$.
Zusammengesetzte Figuren
Viele Flächen im Alltag sind keine einfachen Rechtecke. Dann zerlegst Du die Figur in Teile, die Du berechnen kannst – oder Du ergänzt sie zu einer größeren Figur und ziehst ab, was fehlt.
Beispiel: L-förmiger Garten
Ergänzen: großes Rechteck minus fehlendes Rechteck: $A = 10 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 60 - 12 = 48\,\text{m}^2$.
Zerlegen: linkes Rechteck plus rechtes Rechteck: $A = 6 \cdot 6 + 4 \cdot 3 = 36 + 12 = 48\,\text{m}^2$. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.
Umfang: alle Randstücke addieren: $U = 10 + 3 + 4 + 3 + 6 + 6 = 32\,\text{m}$.
Tipp
Fehlt an einer Ecke ein Rechteck, ist der Umfang genauso groß wie beim vollständigen Rechteck: $2 \cdot (10 + 6) = 32\,\text{m}$. Die beiden „Stufen“ sind zusammen genauso lang wie die fehlenden Randstücke.
Alle Formeln auf einen Blick
| Figur | Flächeninhalt | Umfang |
|---|---|---|
| Quadrat | $A = a^2$ | $U = 4a$ |
| Rechteck | $A = a \cdot b$ | $U = 2a + 2b$ |
| Dreieck | $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$ | $U = a + b + c$ |
| Parallelogramm | $A = a \cdot h_a$ | $U = 2a + 2b$ |
| Trapez | $A = \frac{a + c}{2} \cdot h$ | $U = a + b + c + d$ |
| Raute | $A = \frac{e \cdot f}{2}$ | $U = 4a$ |
| Drachenviereck | $A = \frac{e \cdot f}{2}$ | $U = 2a + 2b$ |
| Kreis | $A = \pi r^2$ | $U = 2 \pi r$ |
Eigene Werte ausrechnen? Der Flächenrechner berechnet Fläche, Umfang und fehlende Seiten aller Figuren – mit Rechenweg und Skizze.
Online üben: Rechteck und Quadrat
Rechne erst selbst und klappe dann die Lösung auf.
Stufe 1: Umfang
-
Aufgabe 1
\(\text{Quadrat mit } a = 14\,\text{cm}:\quad U\)\(\text{Quadrat mit } a = 14\,\text{cm}:\quad U = 56\,\text{cm}\)
-
Aufgabe 2
\(\text{Quadrat mit } a = 5\,\text{cm}:\quad U\)\(\text{Quadrat mit } a = 5\,\text{cm}:\quad U = 20\,\text{cm}\)
-
Aufgabe 3
\(\text{Quadrat mit } a = 15\,\text{cm}:\quad U\)\(\text{Quadrat mit } a = 15\,\text{cm}:\quad U = 60\,\text{cm}\)
-
Aufgabe 4
\(\text{Rechteck mit } a = 13\,\text{cm},\ b = 5\,\text{cm}:\quad U\)\(\text{Rechteck mit } a = 13\,\text{cm},\ b = 5\,\text{cm}:\quad U = 36\,\text{cm}\)
-
Aufgabe 5
\(\text{Quadrat mit } a = 10\,\text{cm}:\quad U\)\(\text{Quadrat mit } a = 10\,\text{cm}:\quad U = 40\,\text{cm}\)
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Aufgabe 6
\(\text{Rechteck mit } a = 8\,\text{cm},\ b = 9\,\text{cm}:\quad U\)\(\text{Rechteck mit } a = 8\,\text{cm},\ b = 9\,\text{cm}:\quad U = 34\,\text{cm}\)
Online üben: Dreieck, Parallelogramm und Trapez
Stufe 1: Dreieck
-
Aufgabe 1
\(\text{Dreieck mit } g = 12\,\text{cm},\ h_g = 11\,\text{cm}:\quad A\)\(\text{Dreieck mit } g = 12\,\text{cm},\ h_g = 11\,\text{cm}:\quad A = 66\,\text{cm}^2\)
-
Aufgabe 2
\(\text{Dreieck mit } g = 7\,\text{cm},\ h_g = 2\,\text{cm}:\quad A\)\(\text{Dreieck mit } g = 7\,\text{cm},\ h_g = 2\,\text{cm}:\quad A = 7\,\text{cm}^2\)
-
Aufgabe 3
\(\text{Dreieck mit } g = 12\,\text{cm},\ h_g = 4\,\text{cm}:\quad A\)\(\text{Dreieck mit } g = 12\,\text{cm},\ h_g = 4\,\text{cm}:\quad A = 24\,\text{cm}^2\)
-
Aufgabe 4
\(\text{Dreieck mit } g = 9\,\text{cm},\ h_g = 12\,\text{cm}:\quad A\)\(\text{Dreieck mit } g = 9\,\text{cm},\ h_g = 12\,\text{cm}:\quad A = 54\,\text{cm}^2\)
-
Aufgabe 5
\(\text{Dreieck mit } g = 16\,\text{cm},\ h_g = 7\,\text{cm}:\quad A\)\(\text{Dreieck mit } g = 16\,\text{cm},\ h_g = 7\,\text{cm}:\quad A = 56\,\text{cm}^2\)
-
Aufgabe 6
\(\text{Dreieck mit } g = 11\,\text{cm},\ h_g = 12\,\text{cm}:\quad A\)\(\text{Dreieck mit } g = 11\,\text{cm},\ h_g = 12\,\text{cm}:\quad A = 66\,\text{cm}^2\)
Arbeitsblatt: Umfang und Fläche von Rechteck und Quadrat
Bis zu 14 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 3–5.
Arbeitsblatt: Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm und Trapez
Bis zu 12 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 6–7.
Weiterlesen: Flächeninhalt bei Wikipedia