Winkel
Ein Winkel entsteht, wenn zwei Strahlen von demselben Punkt ausgehen. Den Punkt nennt man Scheitel, die beiden Strahlen heißen Schenkel. Wie weit die Schenkel „aufgeklappt“ sind, misst Du in Grad (°). Eine ganze Drehung hat 360°.
Winkel bezeichnet man meist mit kleinen griechischen Buchstaben: $\alpha$ (Alpha), $\beta$ (Beta), $\gamma$ (Gamma), $\delta$ (Delta). Man kann einen Winkel auch über drei Punkte angeben: $\angle ASB$ ist der Winkel mit dem Scheitel $S$ – der Scheitel steht immer in der Mitte.
Winkelarten
| Winkelart | Größe | Beispiel |
|---|---|---|
| spitzer Winkel | zwischen 0° und 90° | $\alpha = 40^\circ$ |
| rechter Winkel | genau 90° | Ecke eines Blattes Papier |
| stumpfer Winkel | zwischen 90° und 180° | $\alpha = 135^\circ$ |
| gestreckter Winkel | genau 180° | die Schenkel bilden eine Gerade |
| überstumpfer Winkel | zwischen 180° und 360° | $\alpha = 250^\circ$ |
| Vollwinkel | genau 360° | eine ganze Drehung |
Tipp
Einen rechten Winkel markiert man in Zeichnungen mit einem kleinen Viertelkreisbogen mit Punkt darin oder mit einem kleinen Quadrat.
Winkel messen mit dem Geodreieck
- Lege den Nullpunkt (die Mitte der langen Kante) genau auf den Scheitel.
- Lege die lange Kante (die Null-Linie) genau auf einen Schenkel.
- Lies an der Skala ab, wo der andere Schenkel sie schneidet. Beginne bei der Skala, die auf dem ersten Schenkel bei 0° anfängt.
Zeichnen funktioniert genauso: Schenkel zeichnen, Geodreieck anlegen, beim gewünschten Gradwert einen Punkt setzen und mit dem Scheitel verbinden.
Typischer Fehler
Das Geodreieck hat zwei Skalen, die in entgegengesetzte Richtungen laufen. Wer die falsche abliest, erhält statt 40° zum Beispiel 140°. Prüfe deshalb immer mit dem Auge: Ein spitzer Winkel muss kleiner als 90° sein!
Überstumpfe Winkel misst Du nicht direkt. Miss den kleinen Winkel, der zum Vollwinkel fehlt, und rechne $360^\circ$ minus diesen Winkel: Fehlen 110°, ist der überstumpfe Winkel $360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$.
Nebenwinkel und Scheitelwinkel
Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel. Zwischen ihnen gibt es feste Zusammenhänge:
Merke
- Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergänzen sich zu 180°: $\alpha + \beta = 180^\circ$.
- Scheitelwinkel liegen sich am Scheitel gegenüber und sind gleich groß: $\alpha = \alpha'$ und $\beta = \beta'$.
Beispiel
Ist $\alpha = 55^\circ$, dann gilt:
Probe: Alle vier Winkel zusammen ergeben $55^\circ + 125^\circ + 55^\circ + 125^\circ = 360^\circ$.
Stufenwinkel und Wechselwinkel
Werden zwei parallele Geraden $g$ und $h$ von einer dritten Geraden geschnitten, entstehen an beiden Schnittpunkten dieselben Winkel.
Merke
- Stufenwinkel (F-Winkel) liegen auf derselben Seite, wie Stufen übereinander: $\alpha = \beta$.
- Wechselwinkel (Z-Winkel) liegen über Kreuz auf verschiedenen Seiten: $\alpha = \gamma$.
Das gilt nur, wenn $g$ und $h$ parallel sind!
Winkelsumme im Dreieck
Zeichne durch die Ecke $C$ eine Parallele zur Seite $AB$. Links und rechts von $C$ findest Du $\alpha$ und $\beta$ als Wechselwinkel wieder. Zusammen mit $\gamma$ bilden sie an der Geraden einen gestreckten Winkel – also 180°.
Merke
In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel 180°:
Beispiel
In einem Dreieck ist $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 70^\circ$. Dann ist
Besondere Dreiecke
- Gleichschenkliges Dreieck: Die beiden Basiswinkel sind gleich groß. Ist der Winkel an der Spitze $\gamma = 40^\circ$, dann ist $\alpha = \beta = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$.
- Gleichseitiges Dreieck: Alle Winkel sind gleich groß: $180^\circ : 3 = 60^\circ$.
- Rechtwinkliges Dreieck: Ein Winkel ist 90°, die anderen beiden ergeben zusammen 90°. Mit $\alpha = 35^\circ$ ist $\beta = 55^\circ$.
Winkelsumme im Viereck und Vieleck
Jedes Viereck lässt sich mit einer Diagonale in zwei Dreiecke zerlegen. Deshalb ist die Winkelsumme im Viereck $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$. Ein Vieleck mit $n$ Ecken zerfällt in $n - 2$ Dreiecke:
Beispiel
Im Viereck sind $\alpha = 80^\circ$, $\beta = 95^\circ$ und $\gamma = 110^\circ$. Dann ist $\delta = 360^\circ - 80^\circ - 95^\circ - 110^\circ = 75^\circ$.
Ein Sechseck hat die Winkelsumme $(6 - 2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$. Im regelmäßigen Sechseck ist jeder Winkel $720^\circ : 6 = 120^\circ$ groß.
Typische Fehler
- Winkelsumme verwechselt: Dreieck 180°, Viereck 360°.
- Stufen- und Wechselwinkel bei Geraden verwenden, die nicht parallel sind.
- Beim gleichschenkligen Dreieck den Winkel an der Spitze mit einem Basiswinkel verwechseln.
Kennst Du Seiten statt Winkel? Der Dreiecksrechner berechnet alle Winkel eines Dreiecks aus den Seitenlängen.
Online üben
Berechne die fehlenden Winkel. Mit „Stufe“ wählst Du die Schwierigkeit.
Stufe 1: Nebenwinkel und Scheitelwinkel
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Aufgabe 1
\(\alpha = 31^\circ:\ \text{Scheitelwinkel}\)\(\alpha = 31^\circ:\ \text{Scheitelwinkel} = 31^\circ\)
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Aufgabe 2
\(\alpha = 127^\circ:\ \text{Scheitelwinkel}\)\(\alpha = 127^\circ:\ \text{Scheitelwinkel} = 127^\circ\)
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Aufgabe 3
\(\alpha = 140^\circ:\ \text{Scheitelwinkel}\)\(\alpha = 140^\circ:\ \text{Scheitelwinkel} = 140^\circ\)
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Aufgabe 4
\(\alpha = 148^\circ:\ \text{Nebenwinkel}\)\(\alpha = 148^\circ:\ \text{Nebenwinkel} = 32^\circ\)
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Aufgabe 5
\(\alpha = 61^\circ:\ \text{Nebenwinkel}\)\(\alpha = 61^\circ:\ \text{Nebenwinkel} = 119^\circ\)
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Aufgabe 6
\(\alpha = 139^\circ:\ \text{Scheitelwinkel}\)\(\alpha = 139^\circ:\ \text{Scheitelwinkel} = 139^\circ\)
Arbeitsblatt: Winkel berechnen
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Weiterlesen: Winkel bei Wikipedia