Dreisatz
3 kg Äpfel kosten 7,50 €. Wie viel kosten 5 kg? Solche Aufgaben löst Du mit dem Dreisatz. Der Name kommt daher, dass man die Lösung in drei Sätzen (Schritten) aufschreibt.
Proportionaler Dreisatz
Eine Zuordnung ist proportional, wenn gilt: Zum Doppelten gehört das Doppelte, zum Dreifachen das Dreifache. Als Faustregel heißt das je mehr, desto mehr – aber Vorsicht: Nicht jedes „je mehr, desto mehr“ ist proportional (siehe Taxi-Beispiel unten). Entscheidend ist das Verdoppeln.
Beispiel: 3 kg Äpfel kosten 7,50 €. Wie viel kosten 5 kg?
| 3 kg | ≙ | 7,50 € | ||
| : 3 ↓ | 1 kg | ≙ | 2,50 € | : 3 ↓ |
| · 5 ↓ | 5 kg | ≙ | 12,50 € | · 5 ↓ |
- 1. Satz – Bekanntes aufschreiben: 3 kg kosten 7,50 €.
- 2. Satz – auf die Einheit schließen: 1 kg kostet 7,50 € : 3 = 2,50 €.
- 3. Satz – auf die gesuchte Menge schließen: 5 kg kosten 2,50 € · 5 = 12,50 €.
Merke
Beim proportionalen Dreisatz rechnest Du auf beiden Seiten gleich: Teilst Du links durch 3, teilst Du rechts auch durch 3.
Antiproportionaler Dreisatz
Eine Zuordnung ist antiproportional (umgekehrt proportional), wenn gilt: Zum Doppelten gehört die Hälfte, zum Dreifachen ein Drittel. Als Faustregel: je mehr, desto weniger – entscheidend ist aber wieder das Verdoppeln und Halbieren.
Beispiel: 4 Maler brauchen 6 Tage. Wie lange brauchen 3 Maler?
| 4 Maler | ≙ | 6 Tage | ||
| : 4 ↓ | 1 Maler | ≙ | 24 Tage | · 4 ↓ |
| · 3 ↓ | 3 Maler | ≙ | 8 Tage | : 3 ↓ |
Ein einzelner Maler braucht viermal so lange: $6 \cdot 4 = 24$ Tage. Drei Maler schaffen es in einem Drittel dieser Zeit: $24 : 3 = 8$ Tage.
Merke
Beim antiproportionalen Dreisatz rechnest Du auf der rechten Seite umgekehrt: Teilst Du links, multiplizierst Du rechts – und umgekehrt.
Proportional oder antiproportional?
Frage Dich: Was passiert, wenn ich die erste Größe verdopple?
- Die zweite Größe verdoppelt sich auch → proportional (Menge und Preis, Zeit und Strecke bei gleicher Geschwindigkeit, Personen und Zutaten).
- Die zweite Größe halbiert sich → antiproportional (Anzahl Arbeiter und Arbeitszeit, Geschwindigkeit und Fahrzeit, Anzahl Personen und Anteil pro Person).
Typischer Fehler
Nicht jede Zuordnung ist proportional oder antiproportional! Ein Taxi mit Grundgebühr: 2 km kosten 8 €, 4 km kosten aber nicht 16 €. Und ein Kuchen braucht im Ofen nicht doppelt so lange, nur weil man zwei Kuchen backt. Prüfe immer, ob der Dreisatz überhaupt passt.
Die Bruchschreibweise
Wenn Zwischenergebnisse krumme Zahlen sind, rechnest Du am besten alles in einem Bruch und rundest erst am Ende:
Tipp: Probe
Bei proportionalen Zuordnungen sind die Quotienten gleich ($\frac{7{,}50}{3} = \frac{12{,}50}{5} = 2{,}50$), bei antiproportionalen die Produkte ($4 \cdot 6 = 3 \cdot 8 = 24$).
Online üben
Schreibe jeweils die drei Sätze auf und kontrolliere dann Dein Ergebnis.
Stufe 2: antiproportional
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Aufgabe 1 · antiproportional
\(\text{Das Futter reicht für 5 Pferde 12 Tage. Wie lange reicht es für 12 Pferde?}\)\(\text{Für 12 Pferde reicht es 5 Tage.}\)
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Aufgabe 2 · antiproportional
\(\text{Bei 60 km/h dauert eine Fahrt 6 Stunden. Wie lange dauert sie bei 40 km/h?}\)\(\text{Bei 40 km/h dauert sie 9 Stunden.}\)
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Aufgabe 3 · antiproportional
\(\text{Bei 60 km/h dauert eine Fahrt 2 Stunden. Wie lange dauert sie bei 40 km/h?}\)\(\text{Bei 40 km/h dauert sie 3 Stunden.}\)
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Aufgabe 4 · antiproportional
\(\text{Das Futter reicht für 5 Pferde 8 Tage. Wie lange reicht es für 4 Pferde?}\)\(\text{Für 4 Pferde reicht es 10 Tage.}\)
Arbeitsblatt: Dreisatz
Bis zu 10 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 6–7.
Eigene Aufgabe? Der Dreisatz-Rechner löst sie mit Dreisatz-Tabelle. Der Dreisatz ist auch die Grundlage der Prozentrechnung.
Weiterlesen: Dreisatz bei Wikipedia