Zinseszins
Lässt Du Deine Zinsen auf dem Konto liegen, werden sie im nächsten Jahr mitverzinst. Die Zinsen bringen also selbst wieder Zinsen – das nennt man Zinseszins. Dadurch wächst das Geld von Jahr zu Jahr schneller.
Schritt für Schritt
Beispiel: 1000 € zu 5 % für 3 Jahre
| Jahr | Kapital am Anfang | Zinsen (5 %) | Kapital am Ende |
|---|---|---|---|
| 1 | 1000,00 € | 50,00 € | 1050,00 € |
| 2 | 1050,00 € | 52,50 € | 1102,50 € |
| 3 | 1102,50 € | 55,13 € | 1157,63 € |
Die Zinsen werden jedes Jahr größer, weil das Kapital wächst. Ohne Zinseszins wären es jedes Jahr nur 50 €, also 1150 € am Ende.
Der Zinsfaktor
Jedes Jahr kommen 5 % dazu – das Kapital wird also auf 105 % erhöht. Das ist dasselbe wie mal 1,05. Diese Zahl heißt Zinsfaktor $q$:
Nach drei Jahren hast Du deshalb $1000\,\text{€} \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 = 1000\,\text{€} \cdot 1{,}05^3 \approx 1157{,}63\,\text{€}$.
Die Zinseszinsformel
Merke
$K_0$: Anfangskapital, $K_n$: Kapital nach $n$ Jahren, $p$: Zinssatz pro Jahr, $n$: Anzahl der Jahre.
Beispiel
5000 € werden 10 Jahre lang zu 3 % angelegt: $K_{10} = 5000\,\text{€} \cdot 1{,}03^{10} \approx 6719{,}58\,\text{€}$.
Exponentielles Wachstum
Das Diagramm zeigt 1000 € bei 6 % Zinsen. Die hellgrünen Balken zeigen das Kapital ohne Zinseszins, die blauen mit Zinseszins. Nach 30 Jahren sind es mit Zinseszins rund 5743 € statt 2800 €:
Mit Zinseszins wächst das Geld nicht gleichmäßig (linear), sondern immer schneller – man spricht von exponentiellem Wachstum, weil die Jahreszahl $n$ im Exponenten steht.
Umgestellte Formeln
| gesucht | Formel |
|---|---|
| Anfangskapital | $K_0 = \dfrac{K_n}{q^n}$ |
| Zinssatz | $q = \sqrt[n]{\dfrac{K_n}{K_0}}$, dann $p = (q - 1) \cdot 100$ |
| Laufzeit | $n = \dfrac{\ln\left(\frac{K_n}{K_0}\right)}{\ln(q)}$ |
Tipp: Die 72er-Regel
Wann hat sich Dein Geld verdoppelt? Ungefähr nach $72 : p$ Jahren. Bei 3 % also nach etwa 24 Jahren, bei 6 % nach etwa 12 Jahren.
Typischer Fehler
$K_n = K_0 \cdot 1{,}05^n$ ist nicht dasselbe wie $K_0 \cdot (1 + 0{,}05 \cdot n)$. Die zweite Formel gilt nur, wenn die Zinsen jedes Jahr ausgezahlt und nicht mitverzinst werden.
Online üben
Für diese Aufgaben brauchst Du einen Taschenrechner. Runde Geldbeträge auf Cent.
Stufe 1: Endkapital berechnen
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Aufgabe 1
\(K_0 = 9500{,}00\,\text{€};\; p = 4\,\%;\; n = 2;\; K_{2} = \square\)\(K_{2} \approx 10.275{,}20\,\text{€}\)
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Aufgabe 2
\(K_0 = 7500{,}00\,\text{€};\; p = 2\,\%;\; n = 4;\; K_{4} = \square\)\(K_{4} \approx 8118{,}24\,\text{€}\)
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Aufgabe 3
\(K_0 = 7400{,}00\,\text{€};\; p = 1{,}5\,\%;\; n = 7;\; K_{7} = \square\)\(K_{7} \approx 8212{,}85\,\text{€}\)
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Aufgabe 4
\(K_0 = 2000{,}00\,\text{€};\; p = 3{,}5\,\%;\; n = 8;\; K_{8} = \square\)\(K_{8} \approx 2633{,}62\,\text{€}\)
Arbeitsblatt: Zinseszins
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Weiterlesen: Zinseszins bei Wikipedia