Kombinatorik
Wie viele vierstellige PINs gibt es? Auf wie viele Arten können 5 Freunde nebeneinander sitzen? Wie viele Lottotipps sind möglich? Die Kombinatorik ist die Kunst des geschickten Zählens.
Das Zählprinzip
Merke
Besteht eine Auswahl aus mehreren Schritten, multiplizierst Du die Anzahlen der Möglichkeiten der einzelnen Schritte.
Beispiel
Du hast 3 T-Shirts, 2 Hosen und 4 Paar Schuhe. Daraus kannst Du $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ verschiedene Outfits zusammenstellen.
Anordnungen und Fakultät
Auf wie viele Arten können sich 5 Freunde nebeneinander setzen? Für den ersten Platz gibt es 5 Möglichkeiten, für den zweiten noch 4, dann 3, 2 und 1:
Merke
$n!$ (gesprochen „n Fakultät“) ist das Produkt der Zahlen von 1 bis $n$. Es gibt $n!$ Möglichkeiten, $n$ verschiedene Dinge anzuordnen. Außerdem gilt $0! = 1$.
Die Fakultät wächst rasend schnell: $10! = 3{.}628{.}800$ und $20!$ hat schon 19 Stellen.
Das Urnenmodell – vier Fälle
Viele Aufgaben kannst Du Dir als Ziehen von $k$ Kugeln aus einer Urne mit $n$ verschiedenen Kugeln vorstellen. Entscheidend sind zwei Fragen: Kommt es auf die Reihenfolge an? und Wird zurückgelegt?
| mit Zurücklegen | ohne Zurücklegen | |
|---|---|---|
| mit Reihenfolge | $n^k$ | $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ |
| ohne Reihenfolge | $\dbinom{n+k-1}{k}$ | $\dbinom{n}{k}$ |
Mit Reihenfolge, mit Zurücklegen: PIN
Jede der 4 Stellen kann eine der 10 Ziffern sein: $10^4 = 10{.}000$ PINs.
Mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen: Siegertreppchen
8 Läufer, Plätze 1 bis 3: $8 \cdot 7 \cdot 6 = \frac{8!}{5!} = 336$ Möglichkeiten.
Ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen: Lotto
Beim Lotto „6 aus 49“ ist egal, in welcher Reihenfolge die Zahlen gezogen werden. Wir teilen deshalb die geordneten Möglichkeiten durch die $6!$ Reihenfolgen:
Die Chance auf sechs Richtige ist also 1 zu knapp 14 Millionen.
Ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen: Eisbecher
3 Kugeln Eis aus 5 Sorten, Sorten dürfen sich wiederholen, die Reihenfolge im Becher ist egal: $\binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3} = 35$ Becher.
Der Binomialkoeffizient
Merke
Er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, $k$ Dinge aus $n$ auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Tipp: schnell rechnen
Kürze vorher: $\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$. Außerdem gilt $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ – also $\binom{10}{7} = \binom{10}{3}$. Und immer: $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$, $\binom{n}{1} = n$.
Die Binomialkoeffizienten findest Du auch im Pascalschen Dreieck – jede Zahl ist die Summe der beiden darüber:
Typischer Fehler
Bei einer Mannschaftsaufstellung „Kapitän und Stellvertreter“ ist die Reihenfolge wichtig ($25 \cdot 24 = 600$), bei „zwei Klassensprecher gleichberechtigt“ nicht ($\binom{25}{2} = 300$). Lies genau!
Online üben
Stufe 3: ohne Reihenfolge (Binomialkoeffizient)
-
Aufgabe 1
\(\text{Lotto „6 aus 49“: Wie viele verschiedene Tipps gibt es?}\)\(\frac{49!}{6! \cdot 43!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13{.}983{.}816\)
-
Aufgabe 2
\(\text{Lotto „6 aus 35“: Wie viele verschiedene Tipps gibt es?}\)\(\frac{35!}{6! \cdot 29!} = \frac{35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1{.}623{.}160\)
-
Aufgabe 3
\(\text{Aus einer Klasse mit 27 Schülern wird ein Team aus 4 Personen gebildet. Wie viele Teams sind möglich?}\)\(\frac{27!}{4! \cdot 23!} = \frac{27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 17{.}550\)
-
Aufgabe 4
\(\text{Eine Pizzeria hat 10 Beläge. Wie viele Pizzen mit genau 3 verschiedenen Belägen gibt es?}\)\(\frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\)
Online üben: Binomialkoeffizienten
Stufe 1: n bis 6
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Aufgabe 1
\(\text{„}6\text{ über }2\text{“}\)\(\text{„}6\text{ über }2\text{“} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\)
-
Aufgabe 2
\(\text{„}6\text{ über }5\text{“}\)\(\text{„}6\text{ über }5\text{“} = \frac{6}{1} = 6\)
-
Aufgabe 3
\(\text{„}6\text{ über }4\text{“}\)\(\text{„}6\text{ über }4\text{“} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\)
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Aufgabe 4
\(\text{„}3\text{ über }2\text{“}\)\(\text{„}3\text{ über }2\text{“} = \frac{3}{1} = 3\)
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Aufgabe 5
\(\text{„}4\text{ über }1\text{“}\)\(\text{„}4\text{ über }1\text{“} = \frac{4}{1} = 4\)
-
Aufgabe 6
\(\text{„}4\text{ über }2\text{“}\)\(\text{„}4\text{ über }2\text{“} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\)
Arbeitsblatt: Kombinatorik: Wie viele Möglichkeiten?
Bis zu 8 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–12.
Arbeitsblatt: Binomialkoeffizienten berechnen
Bis zu 15 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–12.
Große Zahlen exakt ausrechnen? Der Kombinatorik-Rechner kann alle vier Fälle des Urnenmodells. Weiter geht es mit der Binomialverteilung, in der der Binomialkoeffizient eine wichtige Rolle spielt.
Weiterlesen: Kombinatorik bei Wikipedia