Mittelwert, Median, Modus und Spannweite
Wenn Du viele Daten hast – zum Beispiel die Noten einer Klassenarbeit – möchtest Du sie mit wenigen Zahlen beschreiben. Dafür gibt es Kennwerte. Die wichtigsten lernst Du hier an einem Beispiel kennen.
Unser Beispiel: Tore pro Spiel
Eine Fußballmannschaft schießt in 7 Spielen diese Tore: 2, 0, 3, 1, 2, 6, 2
Arithmetisches Mittel (Durchschnitt)
Merke
Addiere alle Werte und teile durch ihre Anzahl:
Im Durchschnitt schießt die Mannschaft etwa 2,3 Tore pro Spiel. Der Mittelwert muss selbst kein möglicher Wert sein – 2,3 Tore gibt es nicht.
Median (Zentralwert)
Merke
Ordne die Werte der Größe nach (Rangliste). Der Median ist der Wert in der Mitte. Bei einer geraden Anzahl nimmst Du den Mittelwert der beiden mittleren Werte.
Mit einem zusätzlichen Spiel mit 4 Toren wären es 8 Werte: 0, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 6 → Median $= \frac{2 + 2}{2} = 2$.
Modus (häufigster Wert)
Der Modus (auch Modalwert) ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. In unserem Beispiel kommt die 2 dreimal vor – der Modus ist 2. Es kann auch mehrere Modalwerte geben.
Spannweite
Merke
Die Spannweite zeigt, wie weit die Daten auseinanderliegen.
Mittelwert oder Median?
Das Spiel mit 6 Toren ist ein Ausreißer – ein Wert, der weit von den anderen entfernt liegt. Er zieht den Mittelwert nach oben, den Median dagegen kaum.
Tipp
Gibt es Ausreißer (zum Beispiel ein einziges sehr hohes Einkommen in einer Gruppe), beschreibt der Median die „typische“ Mitte oft besser als der Mittelwert.
Quartile und Boxplot
Ab Klasse 7 oder 8 teilst Du die Rangliste in vier gleich große Teile. Die Grenzen heißen Quartile:
- Unteres Quartil $Q_1$: der Median der unteren Hälfte – etwa ein Viertel der Werte liegt darunter.
- Median: die Mitte.
- Oberes Quartil $Q_3$: der Median der oberen Hälfte – etwa ein Viertel der Werte liegt darüber.
Für die Weitsprungergebnisse (in m) 2,9; 3,1; 3,3; 3,4; 3,6; 3,7; 3,8; 4,0; 4,3 ergibt sich: Minimum 2,9, $Q_1 = 3{,}2$, Median 3,6, $Q_3 = 3{,}9$, Maximum 4,3. Das zeigt der Boxplot:
In der Box liegt die mittlere Hälfte der Daten. Die „Antennen“ reichen bis zum kleinsten und größten Wert.
Online üben
Stufe 1: Mittelwert
-
Aufgabe 1
\(\text{Mittelwert von } 5;\ 9;\ 18;\ 10;\ 18\)\(\bar{x} = \frac{60}{5} = 12\)
-
Aufgabe 2
\(\text{Mittelwert von } 9;\ 5;\ 14;\ 13;\ 9;\ 10\)\(\bar{x} = \frac{60}{6} = 10\)
-
Aufgabe 3
\(\text{Mittelwert von } 11;\ 2;\ 3;\ 10;\ 4\)\(\bar{x} = \frac{30}{5} = 6\)
-
Aufgabe 4
\(\text{Mittelwert von } 2;\ 13;\ 0;\ 3;\ 7\)\(\bar{x} = \frac{25}{5} = 5\)
Arbeitsblatt: Mittelwert, Median und Spannweite
Bis zu 12 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 5–7.
Eigene Daten auswerten? Der Statistik-Rechner berechnet alle Kennwerte und zeichnet den Boxplot. Für Schulnoten gibt es den Notendurchschnitt-Rechner.
Weiterlesen: Arithmetisches Mittel bei Wikipedia