Wahrscheinlichkeit berechnen
Wie groß ist die Chance, eine Sechs zu würfeln? Mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung kannst Du solche Fragen genau beantworten – auch für Versuche mit mehreren Stufen.
Die wichtigsten Begriffe
| Begriff | Bedeutung | Beispiel Würfel |
|---|---|---|
| Zufallsexperiment | Versuch mit ungewissem Ausgang, der beliebig oft wiederholt werden kann | einmal würfeln |
| Ergebnis | ein möglicher Ausgang | eine 4 |
| Ergebnismenge $\Omega$ | alle möglichen Ergebnisse | $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ |
| Ereignis $E$ | eine Zusammenfassung von Ergebnissen | „gerade Zahl“ $= \{2, 4, 6\}$ |
Die Laplace-Regel
Haben alle Ergebnisse die gleiche Chance (fairer Würfel, faire Münze, gut gemischte Kugeln), heißt der Versuch Laplace-Experiment. Dann gilt:
Merke
Beispiele
- Eine gerade Zahl würfeln: $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\,\%$
- Eine Zahl größer als 4 würfeln: $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%$
- Aus einer Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln eine rote ziehen: $P = \frac{3}{5} = 60\,\%$
Das Gegenereignis
Das Gegenereignis $\overline{E}$ tritt genau dann ein, wenn $E$ nicht eintritt. Weil eines von beiden sicher passiert, gilt:
Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, keine Sechs zu würfeln, ist $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
Mehrstufige Versuche und Baumdiagramm
Wird ein Versuch mehrmals hintereinander ausgeführt, hilft ein Baumdiagramm. Beispiel: In einer Urne liegen 3 rote (r) und 2 blaue (b) Kugeln. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen.
Nach der ersten Ziehung ist eine Kugel weniger in der Urne – deshalb steht auf der zweiten Stufe immer der Nenner 4.
1. Pfadregel (Produktregel)
Merke
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
2. Pfadregel (Summenregel)
Merke
Gehören zu einem Ereignis mehrere Pfade, addierst Du ihre Wahrscheinlichkeiten.
Tipp: Kontrolle
Die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade zusammen ergeben immer 1: $\frac{6}{20} + \frac{6}{20} + \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = 1$. Und an jeder Verzweigung ergeben die Äste zusammen 1.
Typischer Fehler
Beim Ziehen mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe gleich ($\frac{3}{5}$ und $\frac{2}{5}$). Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sie sich – achte genau darauf, was in der Aufgabe steht!
Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit
Wirfst Du eine Münze 10-mal, kommt nicht unbedingt genau 5-mal Kopf. Bei sehr vielen Würfen pendelt sich der Anteil (die relative Häufigkeit) aber in der Nähe von 50 % ein – er schwankt zwar weiter, aber immer weniger stark. Deshalb kann man Wahrscheinlichkeiten auch durch viele Versuche schätzen – etwa bei einer Reißzwecke, die auf den Kopf oder die Seite fällt.
Online üben
Stufe 3: zweistufige Versuche
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Aufgabe 1
\(\text{6 rote, 3 blaue Kugeln, 2-mal ziehen mit Zurücklegen: } P(\text{beide rot}) = \square\)\(P = \frac{6}{9} \cdot \frac{6}{9} = \frac{4}{9}\)
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Aufgabe 2
\(\text{3 rote, 4 blaue Kugeln, 2-mal ziehen mit Zurücklegen: } P(\text{beide rot}) = \square\)\(P = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{49}\)
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Aufgabe 3
\(\text{Drei Münzwürfe: } P(\text{genau 3-mal Kopf}) = \square\)\(P = \frac{1}{8}\)
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Aufgabe 4
\(\text{Drei Münzwürfe: } P(\text{genau 2-mal Kopf}) = \square\)\(P = \frac{3}{8}\)
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Aufgabe 5
\(\text{5 rote, 3 blaue Kugeln, 2-mal ziehen ohne Zurücklegen: } P(\text{beide rot}) = \square\)\(P = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{5}{14}\)
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Aufgabe 6
\(\text{Zwei Würfel: } P(\text{Augensumme } 5) = \square\)\(P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\)
Arbeitsblatt: Laplace-Wahrscheinlichkeiten
Bis zu 12 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 6–8.
Weiter geht es mit dem Erwartungswert, mit der Kombinatorik (Wie viele Möglichkeiten gibt es?) und mit der Binomialverteilung.
Weiterlesen: Laplace-Experiment bei Wikipedia