Gleichungsrechner mit Rechenweg
Gib eine lineare Gleichung ein – der Rechner löst sie mit Äquivalenzumformungen wie im Heft: Klammern auflösen, zusammenfassen, $x$ auf eine Seite bringen, teilen und zum Schluss die Probe. Außerdem vereinfacht er Terme.
Ergebnis
Die Gleichung hat genau eine Lösung:
Rechenweg
Klammern auflösen
Multipliziere jeden Faktor vor einer Klammer mit jedem Glied in der Klammer. Steht ein Minus vor der Klammer, drehen sich alle Vorzeichen in der Klammer um.
\[\left(x + 2\right)^{2} = x^{2} + 10\]\[x^{2} + 2x + 2x + 4 = x^{2} + 10\]Zusammenfassen
Fasse gleichartige Glieder zusammen: Glieder mit derselben Variablen (und derselben Hochzahl) werden addiert, Zahlen werden verrechnet.
\[x^{2} + 4x + 4 = x^{2} + 10\]Die x²-Glieder heben sich auf
Auf beiden Seiten steht $x^{2}$. Ziehst Du es auf beiden Seiten ab, bleibt eine lineare Gleichung übrig.
\[x^{2} + 4x + 4 = x^{2} + 10 \qquad \mid\; - x^{2}\]\[4x + 4 = 10\]Alle Zahlen auf die andere Seite
Rechne auf beiden Seiten minus $4$.
\[4x + 4 = 10 \qquad \mid\; - 4\]\[4x = 6\]Durch die Zahl vor x teilen
Teile beide Seiten durch $4$.
\[4x = 6 \qquad \mid\; : 4\]\[x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\]Probe
Setze $x = \frac{3}{2}$ in die ursprüngliche Gleichung ein. Beide Seiten müssen denselben Wert ergeben.
\[\text{links: } \left(\frac{3}{2} + 2\right)^{2} = \frac{49}{4}\]\[\text{rechts: } \left(\frac{3}{2}\right)^{2} + 10 = \frac{49}{4}\]\[\frac{49}{4} = \frac{49}{4} \quad \checkmark\]
So löst der Rechner eine Gleichung
- Klammern auflösen: Jeder Faktor vor einer Klammer wird mit jedem Glied in der Klammer multipliziert.
- Zusammenfassen: Auf jeder Seite werden gleichartige Glieder zusammengefasst.
- $x$ auf eine Seite: Durch Plus- oder Minusrechnen auf beiden Seiten landen alle $x$-Glieder links, alle Zahlen rechts.
- Teilen: Zum Schluss wird durch die Zahl vor dem $x$ geteilt.
- Probe: Die Lösung wird in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt.
Fällt das $x$ unterwegs weg, gibt es entweder keine Lösung (falsche Aussage wie $10 = 1$) oder unendlich viele Lösungen (wahre Aussage wie $4 = 4$).
Bleibt nach dem Vereinfachen ein $x^2$ stehen, ist die Gleichung quadratisch. Dafür gibt es den Rechner für quadratische Gleichungen. Gleichungen mit zwei oder drei Variablen löst der LGS-Rechner.
Die Erklärung zu allen Umformungen findest Du unter Lineare Gleichungen lösen, zum Vereinfachen unter Terme vereinfachen und Klammern auflösen.