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Klammern auflösen und ausklammern

Steht eine Zahl oder ein Term vor einer Klammer, kannst Du die Klammer „auflösen“: Du multiplizierst den Faktor mit jedem Glied in der Klammer. Umgekehrt kannst Du einen gemeinsamen Faktor wieder „ausklammern“.

Das Distributivgesetz

Merke

Der Faktor vor der Klammer wird mit jedem Glied in der Klammer multipliziert:

\[a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \qquad\qquad a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c\]

Warum stimmt das? $3 \cdot (x + 2)$ bedeutet „dreimal $(x + 2)$“, also $(x + 2) + (x + 2) + (x + 2)$. Das sind drei $x$ und dreimal die 2: $3x + 6$.

Beispiele

\[\begin{aligned} 4(x + 5) &= 4 \cdot x + 4 \cdot 5 = 4x + 20\\ 3(2a - 7) &= 3 \cdot 2a - 3 \cdot 7 = 6a - 21\\ x(x + 3) &= x \cdot x + x \cdot 3 = x^2 + 3x \end{aligned}\]

Minus vor der Klammer

Merke

Steht ein Minus vor der Klammer, drehen sich beim Auflösen alle Vorzeichen in der Klammer um. Ein Plus vor der Klammer ändert nichts.

\[-(a + b - c) = -a - b + c \qquad\qquad +(a + b - c) = a + b - c\]

Beispiele

\[\begin{aligned} 8 - (x - 3) &= 8 - x + 3 = 11 - x\\ -2(3y - 4) &= -6y + 8\\ 5x - 3(x + 2) &= 5x - 3x - 6 = 2x - 6 \end{aligned}\]

Typischer Fehler

Beim Minus vor der Klammer wird oft nur das erste Glied umgedreht: $8 - (x - 3) = 8 - x - 3$ ist falsch! Auch die $-3$ wird zu $+3$.

Zwei Klammern ausmultiplizieren

Werden zwei Klammern miteinander multipliziert, nimmst Du jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer mal („jeder mit jedem“). Danach fasst Du zusammen.

\[(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\]

Beispiel

\[(x + 3)(x - 5) = x \cdot x - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15\]

Bei zwei Gliedern in jeder Klammer entstehen immer 4 Produkte. Bei 2 und 3 Gliedern sind es 6.

Tipp

Für besondere Klammerprodukte wie $(a + b)^2$ oder $(a + b)(a - b)$ gibt es Abkürzungen: die binomischen Formeln.

Ausklammern (Faktorisieren)

Ausklammern ist das Gegenteil vom Ausmultiplizieren. Du suchst einen Faktor, der in allen Gliedern steckt, und schreibst ihn vor eine Klammer. In der Klammer bleibt übrig, was Du durch diesen Faktor geteilt hast.

Beispiele

\[\begin{aligned} 6x + 9 &= 3 \cdot 2x + 3 \cdot 3 = 3(2x + 3)\\ 4x^2 - 6x &= 2x \cdot 2x - 2x \cdot 3 = 2x(2x - 3)\\ 5a - 5 &= 5(a - 1) \end{aligned}\]

Merke

Klammere möglichst den größten gemeinsamen Faktor aus (bei Zahlen den ggT). Zur Kontrolle multiplizierst Du wieder aus – dann muss der Ausgangsterm herauskommen. Bleibt beim Ausklammern ein ganzes Glied übrig, steht dort eine 1: $5a - 5 = 5(a - 1)$.

Ausklammern brauchst Du später ständig – zum Beispiel beim Lösen von Gleichungen wie $x^2 - 3x = 0$, die Du als $x(x - 3) = 0$ schreibst.

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Online üben: Klammern auflösen

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: eine Klammer

  1. Aufgabe 1
    \(-\left(4y - 4\right)\)
    \(-\left(4y - 4\right) = -4y + 4\)
  2. Aufgabe 2
    \(-5\left(-2y - 1\right)\)
    \(-5\left(-2y - 1\right) = 10y + 5\)
  3. Aufgabe 3
    \(-8\left(4x - 3\right)\)
    \(-8\left(4x - 3\right) = -32x + 24\)
  4. Aufgabe 4
    \(-5\left(-6x + 5\right)\)
    \(-5\left(-6x + 5\right) = 30x - 25\)
  5. Aufgabe 5
    \(-8\left(5a + 7\right)\)
    \(-8\left(5a + 7\right) = -40a - 56\)
  6. Aufgabe 6
    \(8\left(8x + 6\right)\)
    \(8\left(8x + 6\right) = 64x + 48\)

Online üben: Ausklammern

Stufe 1 Stufe 2 Neue Aufgaben

Stufe 1: eine Zahl ausklammern

  1. Aufgabe 1
    \(42x + 6\)
    \(42x + 6 = 6\left(7x + 1\right)\)
  2. Aufgabe 2
    \(56b - 21\)
    \(56b - 21 = 7\left(8b - 3\right)\)
  3. Aufgabe 3
    \(2b + 16\)
    \(2b + 16 = 2\left(b + 8\right)\)
  4. Aufgabe 4
    \(81b - 72\)
    \(81b - 72 = 9\left(9b - 8\right)\)
  5. Aufgabe 5
    \(28b + 36\)
    \(28b + 36 = 4\left(7b + 9\right)\)
  6. Aufgabe 6
    \(49b - 35\)
    \(49b - 35 = 7\left(7b - 5\right)\)

Arbeitsblatt: Klammern auflösen

Bis zu 16 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–8.

Arbeitsblatt: Ausklammern (Faktorisieren)

Bis zu 16 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8.

Eigene Aufgabe? Der Gleichungsrechner löst Klammern auf und fasst zusammen – mit Rechenweg.

Weiterlesen: Distributivgesetz bei Wikipedia

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