LGS-Rechner mit Rechenweg
Gib ein lineares Gleichungssystem mit zwei oder drei Gleichungen ein – jede Gleichung in eine eigene Zeile. Der Rechner zeigt Dir den kompletten Lösungsweg und macht zum Schluss die Probe.
Ergebnis
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung:
Rechenweg
Gleichungen passend multiplizieren
Ziel: Vor $x$ sollen in beiden Gleichungen Zahlen mit gleichem Betrag, aber verschiedenem Vorzeichen stehen. Dann fällt $x$ beim Addieren weg.
\[\begin{aligned}\text{I}:\quad 2x + 3y &= 12 \\ \text{II} \cdot (-2):\quad -2x + 2y &= -2\end{aligned}\]Gleichungen addieren
Addiere die beiden Gleichungen: linke Seite plus linke Seite, rechte Seite plus rechte Seite. $x$ fällt weg.
\[5y = 10\]Durch die Zahl vor y teilen
Teile beide Seiten durch $5$.
\[5y = 10 \qquad \mid\; : 5\]\[y = \frac{10}{5} = 2\]Einsetzen in Gleichung II
Setze $y = 2$ in Gleichung II ein und berechne $x$.
\[x - 2 = 1\]Alle Zahlen auf die andere Seite
Rechne auf beiden Seiten plus $2$.
\[x - 2 = 1 \qquad \mid\; + 2\]\[x = 3\]Probe
Setze die Lösung in alle ursprünglichen Gleichungen ein. Links und rechts muss jeweils dasselbe herauskommen.
\[\text{I:}\quad 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12 \quad\text{und}\quad 12 = 12 \;\checkmark\]\[\text{II:}\quad 3 - 2 = 1 \quad\text{und}\quad 1 = 1 \;\checkmark\]
Welches Verfahren passt?
- Gleichsetzungsverfahren: praktisch, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variablen aufgelöst sind, z. B. $y = 2x + 1$ und $y = -x + 7$.
- Einsetzungsverfahren: praktisch, wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist oder eine Variable ohne Zahl davor vorkommt.
- Additionsverfahren: funktioniert immer gut, besonders wenn alle Variablen links in derselben Reihenfolge stehen.
- Gauß-Verfahren: das Additionsverfahren für drei (oder mehr) Gleichungen.
Alle Verfahren führen zur selben Lösung. Ausführlich erklärt sind sie unter Lineare Gleichungssysteme. Eine einzelne Gleichung löst der Gleichungsrechner.