LGS-Rechner mit Rechenweg
Gib ein lineares Gleichungssystem mit zwei oder drei Gleichungen ein – jede Gleichung in eine eigene Zeile. Der Rechner zeigt Dir den kompletten Lösungsweg und macht zum Schluss die Probe.
Ergebnis
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung:
Rechenweg
Gleichungen passend multiplizieren
Ziel: Vor $y$ sollen in beiden Gleichungen Zahlen mit gleichem Betrag, aber verschiedenem Vorzeichen stehen. Dann fällt $y$ beim Addieren weg.
\[\begin{aligned}\text{I} \cdot 2:\quad 6x + 4y &= 14 \\ \text{II}:\quad 5x - 4y &= 19\end{aligned}\]Gleichungen addieren
Addiere die beiden Gleichungen: linke Seite plus linke Seite, rechte Seite plus rechte Seite. $y$ fällt weg.
\[11x = 33\]Durch die Zahl vor x teilen
Teile beide Seiten durch $11$.
\[11x = 33 \qquad \mid\; : 11\]\[x = \frac{33}{11} = 3\]Einsetzen in Gleichung I
Setze $x = 3$ in Gleichung I ein und berechne $y$.
\[3 \cdot 3 + 2y = 7\]Alle Zahlen auf die andere Seite
Rechne auf beiden Seiten minus $9$.
\[2y + 9 = 7 \qquad \mid\; - 9\]\[2y = -2\]Durch die Zahl vor y teilen
Teile beide Seiten durch $2$.
\[2y = -2 \qquad \mid\; : 2\]\[y = \frac{-2}{2} = -1\]Probe
Setze die Lösung in alle ursprünglichen Gleichungen ein. Links und rechts muss jeweils dasselbe herauskommen.
\[\text{I:}\quad 3 \cdot 3 + 2 \cdot \left(-1\right) = 7 \quad\text{und}\quad 7 = 7 \;\checkmark\]\[\text{II:}\quad 5 \cdot 3 - 4 \cdot \left(-1\right) = 19 \quad\text{und}\quad 19 = 19 \;\checkmark\]
Welches Verfahren passt?
- Gleichsetzungsverfahren: praktisch, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variablen aufgelöst sind, z. B. $y = 2x + 1$ und $y = -x + 7$.
- Einsetzungsverfahren: praktisch, wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist oder eine Variable ohne Zahl davor vorkommt.
- Additionsverfahren: funktioniert immer gut, besonders wenn alle Variablen links in derselben Reihenfolge stehen.
- Gauß-Verfahren: das Additionsverfahren für drei (oder mehr) Gleichungen.
Alle Verfahren führen zur selben Lösung. Ausführlich erklärt sind sie unter Lineare Gleichungssysteme. Eine einzelne Gleichung löst der Gleichungsrechner.