LGS-Rechner mit Rechenweg
Gib ein lineares Gleichungssystem mit zwei oder drei Gleichungen ein – jede Gleichung in eine eigene Zeile. Der Rechner zeigt Dir den kompletten Lösungsweg und macht zum Schluss die Probe.
Ergebnis
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung:
Rechenweg
Gleichung I nach x umstellen
Bringe alles außer $x$ auf die rechte Seite.
\[x + 2y = 8\]\[x = -2y + 8\]In Gleichung II einsetzen
Ersetze in Gleichung II das $x$ durch den Term. Jetzt kommt nur noch $y$ vor.
\[3 \cdot \left(-2y + 8\right) - y = 3\]\[-6y + 24 - y = 3\]\[-7y + 24 = 3\]Alle Zahlen auf die andere Seite
Rechne auf beiden Seiten minus $24$.
\[-7y + 24 = 3 \qquad \mid\; - 24\]\[-7y = -21\]Durch die Zahl vor y teilen
Teile beide Seiten durch $-7$. Achte auf das Vorzeichen.
\[-7y = -21 \qquad \mid\; : \left(-7\right)\]\[y = \frac{-21}{-7} = 3\]Den zweiten Wert berechnen
Setze $y = 3$ in die umgestellte Gleichung ein:
\[x = -2 \cdot 3 + 8 = 2\]Probe
Setze die Lösung in alle ursprünglichen Gleichungen ein. Links und rechts muss jeweils dasselbe herauskommen.
\[\text{I:}\quad 2 + 2 \cdot 3 = 8 \quad\text{und}\quad 8 = 8 \;\checkmark\]\[\text{II:}\quad 3 \cdot 2 - 3 = 3 \quad\text{und}\quad 3 = 3 \;\checkmark\]
Welches Verfahren passt?
- Gleichsetzungsverfahren: praktisch, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variablen aufgelöst sind, z. B. $y = 2x + 1$ und $y = -x + 7$.
- Einsetzungsverfahren: praktisch, wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist oder eine Variable ohne Zahl davor vorkommt.
- Additionsverfahren: funktioniert immer gut, besonders wenn alle Variablen links in derselben Reihenfolge stehen.
- Gauß-Verfahren: das Additionsverfahren für drei (oder mehr) Gleichungen.
Alle Verfahren führen zur selben Lösung. Ausführlich erklärt sind sie unter Lineare Gleichungssysteme. Eine einzelne Gleichung löst der Gleichungsrechner.