LGS-Rechner mit Rechenweg
Gib ein lineares Gleichungssystem mit zwei oder drei Gleichungen ein – jede Gleichung in eine eigene Zeile. Der Rechner zeigt Dir den kompletten Lösungsweg und macht zum Schluss die Probe.
Ergebnis
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung:
Rechenweg
Gleichungen ordnen
Bringe in jeder Gleichung alle Variablen nach links (in derselben Reihenfolge) und die Zahlen nach rechts.
\[\begin{aligned}\text{I:}\quad -2x + y &= 1 \\ \text{II:}\quad x + y &= 7\end{aligned}\]Gleichung I nach y umstellen
Bringe alles außer $y$ auf die rechte Seite.
\[-2x + y = 1\]\[y = 2x + 1\]Gleichung II nach y umstellen
Bringe alles außer $y$ auf die rechte Seite.
\[x + y = 7\]\[y = -x + 7\]Gleichsetzen
Beide Gleichungen sind nach $y$ aufgelöst. Die rechten Seiten müssen also gleich sein:
\[2x + 1 = -x + 7\]Alle x-Glieder auf eine Seite
Rechne auf beiden Seiten plus $x$, damit $x$ nur noch links steht.
\[2x + 1 = -x + 7 \qquad \mid\; + x\]\[3x + 1 = 7\]Alle Zahlen auf die andere Seite
Rechne auf beiden Seiten minus $1$.
\[3x + 1 = 7 \qquad \mid\; - 1\]\[3x = 6\]Durch die Zahl vor x teilen
Teile beide Seiten durch $3$.
\[3x = 6 \qquad \mid\; : 3\]\[x = \frac{6}{3} = 2\]Den zweiten Wert berechnen
Setze $x = 2$ in eine der umgestellten Gleichungen ein:
\[y = 2 \cdot 2 + 1 = 5\]Probe
Setze die Lösung in alle ursprünglichen Gleichungen ein. Links und rechts muss jeweils dasselbe herauskommen.
\[\text{I:}\quad 5 = 5 \quad\text{und}\quad 2 \cdot 2 + 1 = 5 \;\checkmark\]\[\text{II:}\quad 5 = 5 \quad\text{und}\quad -2 + 7 = 5 \;\checkmark\]
Welches Verfahren passt?
- Gleichsetzungsverfahren: praktisch, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variablen aufgelöst sind, z. B. $y = 2x + 1$ und $y = -x + 7$.
- Einsetzungsverfahren: praktisch, wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist oder eine Variable ohne Zahl davor vorkommt.
- Additionsverfahren: funktioniert immer gut, besonders wenn alle Variablen links in derselben Reihenfolge stehen.
- Gauß-Verfahren: das Additionsverfahren für drei (oder mehr) Gleichungen.
Alle Verfahren führen zur selben Lösung. Ausführlich erklärt sind sie unter Lineare Gleichungssysteme. Eine einzelne Gleichung löst der Gleichungsrechner.