Lineare Gleichungen lösen
Eine Gleichung zu lösen heißt: herausfinden, welche Zahl für $x$ die Gleichung wahr macht. Bei linearen Gleichungen kommt $x$ nur „einfach“ vor – also ohne $x^2$, ohne Wurzel und nicht im Nenner. Solche Gleichungen löst Du immer nach demselben Rezept.
Die Waage als Bild
Stell Dir eine Gleichung als Waage im Gleichgewicht vor. Links liegt $3x + 5$, rechts liegt $20$. Die Waage bleibt im Gleichgewicht, solange Du auf beiden Seiten genau dasselbe tust: dasselbe dazulegen, dasselbe wegnehmen, beide Seiten verdoppeln oder halbieren.
Merke: Äquivalenzumformungen
Diese Umformungen verändern die Lösung einer Gleichung nicht – Du musst sie aber immer auf beiden Seiten machen:
- dieselbe Zahl oder denselben Term addieren oder subtrahieren,
- mit derselben Zahl (außer 0) multiplizieren oder durch sie dividieren.
Hinter einen senkrechten Strich schreibst Du, was Du gerade tust: $\mid -5$ oder $\mid :3$.
Das Lösungsrezept
- Klammern auflösen (falls vorhanden).
- Zusammenfassen – auf jeder Seite für sich.
- $x$-Glieder auf eine Seite bringen (meist nach links).
- Zahlen auf die andere Seite bringen.
- Durch die Zahl vor dem $x$ teilen.
- Probe: Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Beispiel 1: einfache Gleichung
Probe: $5 \cdot 5 - 7 = 25 - 7 = 18$ ✓
Beispiel 2: $x$ auf beiden Seiten
Probe: links $7 \cdot 4 + 3 = 31$, rechts $4 \cdot 4 + 15 = 31$ ✓
Beispiel 3: mit Klammern
Beispiel 4: mit Brüchen
Brüche wirst Du los, indem Du die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizierst – hier mit 6:
Achtung: Beim Multiplizieren mit 6 wird jedes Glied mit 6 multipliziert – auch die $-1$.
Sonderfälle: keine oder unendlich viele Lösungen
Manchmal fällt das $x$ beim Umformen komplett weg. Dann bleibt eine Aussage ohne Variable übrig:
- Falsche Aussage wie $3 = 7$: Die Gleichung hat keine Lösung, $\mathbb{L} = \{\,\}$. Beispiel: $2x + 3 = 2x + 7$.
- Wahre Aussage wie $5 = 5$: Jede Zahl ist eine Lösung, $\mathbb{L} = \mathbb{Q}$. Beispiel: $2(x + 1) = 2x + 2$.
Typische Fehler
- Nur auf einer Seite umformen – die Waage kippt.
- Beim Seitenwechsel das Vorzeichen nicht umdrehen: aus $+7$ links wird $-7$ rechts.
- Bei $-x = 5$ aufhören: Das Ergebnis ist $x = -5$.
- Beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner ein Glied vergessen.
Textaufgaben mit Gleichungen
Bei Textaufgaben übersetzt Du den Text zuerst in eine Gleichung. Lege dazu fest, wofür $x$ steht.
Beispiel: Zahlenrätsel
„Ich denke mir eine Zahl, multipliziere sie mit 4 und addiere 7. Ich erhalte 35.“
$x$ = gedachte Zahl: $4x + 7 = 35 \;\Rightarrow\; 4x = 28 \;\Rightarrow\; x = 7$.
Beispiel: Alter
„Lisa ist 3 Jahre älter als ihr Bruder. Zusammen sind sie 25 Jahre alt.“
$x$ = Alter des Bruders, Lisa ist $x + 3$: $x + (x + 3) = 25 \;\Rightarrow\; 2x + 3 = 25 \;\Rightarrow\; x = 11$. Der Bruder ist 11, Lisa 14 Jahre alt.
Online üben
Löse die Gleichungen auf einem Blatt und kontrolliere Dein Ergebnis. Wähle oben die Schwierigkeitsstufe.
Stufe 3: mit Klammern
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Aufgabe 1
\(3\left(x + 1\right) = 6x + 12\)\(x = -3\)
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Aufgabe 2
\(3\left(x - 9\right) = 2x - 27\)\(x = 0\)
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Aufgabe 3
\(5\left(x + 4\right) = 8x + 41\)\(x = -7\)
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Aufgabe 4
\(2\left(x + 8\right) = -x + 7\)\(x = -3\)
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Aufgabe 5
\(4\left(x + 4\right) = -8x - 68\)\(x = -7\)
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Aufgabe 6
\(2\left(x - 7\right) - 4\left(x - 2\right) = -8\)\(x = 1\)
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Zum Nachrechnen: Der Gleichungsrechner zeigt Dir jede Umformung und macht die Probe. Gleichungen mit $x^2$ löst Du mit der pq-Formel.
Weiterlesen: Lineare Gleichung bei Wikipedia