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Lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Variablen, die gleichzeitig erfüllt sein sollen. Bei zwei Gleichungen mit $x$ und $y$ suchst Du also ein Zahlenpaar, das beide Gleichungen wahr macht.

\[\begin{aligned} \text{I:}\quad y &= 2x + 1\\ \text{II:}\quad y &= -x + 7 \end{aligned}\]

Die Lösung ist $x = 2$, $y = 5$, geschrieben als Zahlenpaar $(2 \mid 5)$. Prüfe selbst: $5 = 2 \cdot 2 + 1$ ✓ und $5 = -2 + 7$ ✓.

Was bedeutet die Lösung grafisch?

Jede lineare Gleichung mit $x$ und $y$ beschreibt eine Gerade. Die Lösung des Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der beiden Geraden – der einzige Punkt, der auf beiden liegt.

−2−112345678−2246810xy0IIIS(2 | 5)

Drei mögliche Fälle

−112345−112345xy0

genau eine Lösung
Geraden schneiden sich

−112345−112345xy0

keine Lösung
Geraden sind parallel

−112345−112345xy0

unendlich viele Lösungen
Geraden sind identisch

Gleichsetzungsverfahren

Praktisch, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind (oder sich leicht danach auflösen lassen).

  1. Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen, z. B. nach $y$.
  2. Die rechten Seiten gleichsetzen – es entsteht eine Gleichung mit nur einer Variablen.
  3. Diese Gleichung lösen und das Ergebnis in eine Ausgangsgleichung einsetzen.

Beispiel

\[\begin{aligned} 2x + 1 &= -x + 7 &&\mid +x\\ 3x + 1 &= 7 &&\mid -1\\ 3x &= 6 &&\mid :3\\ x &= 2 \qquad\Rightarrow\qquad y = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \end{aligned}\]

Einsetzungsverfahren

Praktisch, wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist oder eine Variable ohne Zahl davor vorkommt.

Beispiel

$\text{I: } x + 2y = 8 \qquad \text{II: } 3x - y = 3$

\[\begin{aligned} \text{I nach } x \text{ auflösen:}\quad x &= 8 - 2y\\ \text{in II einsetzen:}\quad 3(8 - 2y) - y &= 3\\ 24 - 6y - y &= 3\\ -7y &= -21 \quad\Rightarrow\quad y = 3\\ x &= 8 - 2 \cdot 3 = 2 \end{aligned}\]

Lösung: $(2 \mid 3)$.

Additionsverfahren

Das Additionsverfahren funktioniert immer und ist bei Gleichungen in der Form $ax + by = c$ meist am schnellsten. Die Idee: Multipliziere die Gleichungen so, dass vor einer Variablen gleich große Zahlen mit verschiedenem Vorzeichen stehen. Beim Addieren fällt diese Variable dann weg.

Beispiel

$\text{I: } 3x + 2y = 7 \qquad \text{II: } 5x - 4y = 19$

\[\begin{aligned} \text{I} \cdot 2:\quad 6x + 4y &= 14\\ \text{II}:\quad 5x - 4y &= 19\\[4pt] \text{I} \cdot 2 + \text{II}:\quad 11x &= 33 \quad\Rightarrow\quad x = 3\\ \text{in I:}\quad 3 \cdot 3 + 2y &= 7 \quad\Rightarrow\quad 2y = -2 \quad\Rightarrow\quad y = -1 \end{aligned}\]

Lösung: $(3 \mid -1)$.

Tipp

Mach am Ende immer die Probe in beiden Gleichungen. Ein Rechenfehler fällt so sofort auf.

Sonderfälle erkennen

Fallen beim Rechnen beide Variablen weg, bleibt eine Aussage ohne Variable:

  • Falsche Aussage (z. B. $0 = 1$): keine Lösung – die Geraden sind parallel. Beispiel: $x + y = 2$ und $2x + 2y = 5$.
  • Wahre Aussage (z. B. $0 = 0$): unendlich viele Lösungen – beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Beispiel: $2x + 4y = 6$ und $x + 2y = 3$.

Drei Gleichungen: das Gauß-Verfahren

Bei drei Gleichungen mit drei Variablen (Oberstufe) wendest Du das Additionsverfahren mehrmals an, bis eine Stufenform entsteht: Die letzte Gleichung enthält nur noch eine Variable, die mittlere zwei.

Beispiel

\[\begin{aligned} \text{I:}\quad x + y + z &= 6\\ \text{II:}\quad 2x - y + z &= 3\\ \text{III:}\quad x + 2y - z &= 2 \end{aligned} \quad\longrightarrow\quad \begin{aligned} \text{I:}\quad x + y + z &= 6\\ \text{II}' = \text{II} - 2\cdot\text{I}:\quad -3y - z &= -9\\ \text{III}' = \text{III} - \text{I}:\quad y - 2z &= -4 \end{aligned}\]
\[\text{II}'' = \text{II}' + 3 \cdot \text{III}':\quad -7z = -21 \;\Rightarrow\; z = 3 \;\Rightarrow\; y = -4 + 2 \cdot 3 = 2 \;\Rightarrow\; x = 6 - 2 - 3 = 1\]

Lösung: $(1 \mid 2 \mid 3)$.

Textaufgabe

Hühner und Kaninchen

In einem Stall leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Tiere sind es von jeder Sorte?

$h$ = Anzahl Hühner, $k$ = Anzahl Kaninchen: $\;\text{I: } h + k = 20 \qquad \text{II: } 2h + 4k = 56$

Aus I folgt $h = 20 - k$. Eingesetzt in II: $2(20 - k) + 4k = 56 \Rightarrow 40 + 2k = 56 \Rightarrow k = 8$, also $h = 12$. Es sind 12 Hühner und 8 Kaninchen.

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Stufe 1 Stufe 2 Neue Aufgaben

Stufe 1: einfache Zahlen

  1. Aufgabe 1
    \(\text{I: }\; -3x + 2y = 0 \qquad \text{II: }\; x - y = -2\)
    \(x = 4,\quad y = 6\)
  2. Aufgabe 2
    \(\text{I: }\; 2x - 4y = -4 \qquad \text{II: }\; -x - y = -7\)
    \(x = 4,\quad y = 3\)
  3. Aufgabe 3
    \(\text{I: }\; 4x - 2y = 0 \qquad \text{II: }\; -x + y = 4\)
    \(x = 4,\quad y = 8\)
  4. Aufgabe 4
    \(\text{I: }\; 4x - 3y = 20 \qquad \text{II: }\; x - 3y = -4\)
    \(x = 8,\quad y = 4\)

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Mit dem LGS-Rechner kannst Du jedes System mit 2 oder 3 Gleichungen lösen lassen – mit dem Verfahren Deiner Wahl und vollständigem Rechenweg.

Weiterlesen: Lineares Gleichungssystem bei Wikipedia

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