Ungleichungen lösen
Eine Ungleichung sieht aus wie eine Gleichung – nur steht statt „=“ ein Zeichen wie $<$ oder $\geq$. Ihre Lösung ist meist keine einzelne Zahl, sondern ein ganzer Bereich von Zahlen.
Die Ungleichheitszeichen
| Zeichen | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| $<$ | kleiner als | $3 < 5$ |
| $>$ | größer als | $-1 > -4$ |
| $\leq$ | kleiner oder gleich | $x \leq 2$: 2 gehört dazu |
| $\geq$ | größer oder gleich | $x \geq 0$: 0 gehört dazu |
Tipp
Die Spitze des Zeichens zeigt immer auf die kleinere Zahl, die Öffnung zur größeren – wie ein Krokodil, das die größere Zahl fressen will.
So löst Du eine Ungleichung
Du gehst genauso vor wie bei einer linearen Gleichung: Klammern auflösen, zusammenfassen, $x$ auf eine Seite, Zahlen auf die andere, teilen. Es gibt nur eine wichtige Ausnahme:
Merke
Wenn Du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, dreht sich das Ungleichheitszeichen um: aus $<$ wird $>$, aus $\leq$ wird $\geq$ – und umgekehrt.
Warum? Es gilt $2 < 5$. Nimmst Du beide Seiten mit $-1$ mal, erhältst Du $-2$ und $-5$. Aber $-2$ ist größer als $-5$: $-2 > -5$. Das Zeichen muss also umgedreht werden.
Beispiel 1
Alle Zahlen kleiner als 5 sind Lösungen. Die 5 selbst gehört nicht dazu (leerer Kreis):
Beispiel 2: Teilen durch eine negative Zahl
Die 3 gehört dazu (gefüllter Kreis):
Probe mit $x = 0$: $-2 \cdot 0 + 7 = 7 \geq 1$ ✓. Probe mit $x = 5$: $-10 + 7 = -3 \geq 1$ ist falsch – 5 ist keine Lösung ✓.
Beispiel 3: $x$ auf beiden Seiten
Die Lösungsmenge aufschreiben
Die Lösungsmenge schreibst Du in Mengenschreibweise:
Gelesen: „Die Menge aller $x$, für die gilt: $x$ ist kleiner als 5.“ Manchmal wird auch die Intervallschreibweise verwendet: $\mathbb{L} = \,]-\infty;\,5[$ – die nach außen geöffneten Klammern zeigen, dass die Grenze nicht dazugehört.
Typische Fehler
- Beim Teilen durch eine negative Zahl das Zeichen nicht umdrehen.
- Das Zeichen umdrehen, obwohl nur eine negative Zahl addiert oder subtrahiert wurde – das ändert am Zeichen nichts!
- $<$ und $\leq$ verwechseln: Bei $\leq$ gehört die Grenze zur Lösung.
Online üben
Stufe 2: auch negative Zahl vor x
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Aufgabe 1
\(-4x + 11 \geq -1\)\(x \leq 3\)
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Aufgabe 2
\(-8x + 15 < 7\)\(x > 1\)
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Aufgabe 3
\(-5x + 4 \geq 34\)\(x \leq -6\)
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Aufgabe 4
\(-2x - 14 \leq -32\)\(x \geq 9\)
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Aufgabe 5
\(-7x - 8 > -57\)\(x < 7\)
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Aufgabe 6
\(-x - 2 > 5\)\(x < -7\)
Arbeitsblatt: Ungleichungen lösen
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Weiterlesen: Ungleichung bei Wikipedia