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Betrag und Abstand

Der Betrag eines Vektors ist die Länge seines Pfeils. Du berechnest ihn mit dem Satz des Pythagoras. Damit bestimmst Du auch den Abstand zweier Punkte, die Seitenlängen von Dreiecken oder Vektoren mit einer bestimmten Länge.

Betrag in der Ebene

xy11|v| = 543
Die Koordinaten sind die Katheten, der Pfeil die Hypotenuse

Die beiden Koordinaten bilden mit dem Pfeil ein rechtwinkliges Dreieck. Der Pfeil ist die Hypotenuse – also gilt nach dem Satz des Pythagoras:

\[\left|\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\]

Beispiel

\[\left|\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \qquad \left|\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\]

Betrag im Raum

x1x2x3dv3v
Zweimal Pythagoras: erst die Bodendiagonale d, dann der Vektor

Im Raum wendest Du den Satz des Pythagoras zweimal an: Erst ist $d^2 = v_1^2 + v_2^2$ (Diagonale am Boden), dann ist $|\vec{v}|^2 = d^2 + v_3^2$. Zusammen:

Merke: Betrag eines Vektors

\[|\vec{v}| = \left|\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\]

Beispiel

\[\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \qquad \left|\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3\]

Typische Fehler

  • Negative Zahlen quadrieren: $(-3)^2 = 9$, nicht $-9$. Im Taschenrechner deshalb Klammern setzen!
  • Wurzel aus einer Summe: $\sqrt{16 + 9} = 5$, aber $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 7$. Die Wurzel darf nicht auf die einzelnen Summanden verteilt werden.
  • Ein Betrag ist nie negativ. Nur der Nullvektor hat den Betrag 0.

Abstand zweier Punkte

Der Abstand der Punkte $A$ und $B$ ist die Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AB}$:

\[d(A, B) = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}\]

Beispiel

$A(-1 \mid 0 \mid 2)$ und $B(1 \mid -3 \mid 8)$:

\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} \qquad d(A, B) = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\]

Beispiel: Welche Form hat das Dreieck?

$A(0 \mid 0 \mid 0)$, $B(4 \mid 0 \mid 0)$, $C(2 \mid 3 \mid 0)$. Die Seitenlängen sind

\[|\overrightarrow{AB}| = 4 \qquad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \qquad |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\]

Zwei Seiten sind gleich lang: Das Dreieck ist gleichschenklig. Sein Umfang ist $4 + 2\sqrt{13} \approx 11{,}21$.

Einheitsvektor und Vektor mit vorgegebener Länge

Ein Einheitsvektor hat die Länge 1. Du erhältst ihn, indem Du einen Vektor durch seinen Betrag teilst:

\[\vec{a}_0 = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}\]

Beispiel

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ hat den Betrag $\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$. Also ist $\vec{a}_0 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Ein Vektor in dieselbe Richtung mit der Länge 6 ist $6 \cdot \vec{a}_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}$. Probe: $\sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.

Tipp

Gib Wurzeln exakt an, solange es geht: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Gerundet wird erst ganz am Schluss. Der Vektorrechner zieht Wurzeln teilweise und zeigt das exakte und das gerundete Ergebnis.

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Stufe 1: Betrag mit glattem Ergebnis

  1. Aufgabe 1
    \(\left|(-11 \mid -2 \mid -10)\right|\)
    \(\left|(-11 \mid -2 \mid -10)\right| = 15\)
  2. Aufgabe 2
    \(\left|(-2 \mid -2 \mid 1)\right|\)
    \(\left|(-2 \mid -2 \mid 1)\right| = 3\)
  3. Aufgabe 3
    \(\left|(-12 \mid -9 \mid -8)\right|\)
    \(\left|(-12 \mid -9 \mid -8)\right| = 17\)
  4. Aufgabe 4
    \(\left|(12 \mid 4 \mid -3)\right|\)
    \(\left|(12 \mid 4 \mid -3)\right| = 13\)
  5. Aufgabe 5
    \(\left|(-2 \mid 14 \mid -5)\right|\)
    \(\left|(-2 \mid 14 \mid -5)\right| = 15\)
  6. Aufgabe 6
    \(\left|(4 \mid 4 \mid -7)\right|\)
    \(\left|(4 \mid 4 \mid -7)\right| = 9\)

Arbeitsblatt: Betrag von Vektoren und Abstand von Punkten

Bis zu 12 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.

Weiterlesen: Euklidische Norm, Euklidischer Abstand bei Wikipedia

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